В социально-экономических исследованиях часто приходится работать в условиях ограниченной совокупности, либо с выборочными данными. Поэтому после математических параметров уравнение регрессии необходимо оценить их и уравнение в целом на статистическую значимость, т.е. необходимо убедиться, что полученное уравнение и его параметры сформированы под влиянием неслучайных факторов.
Прежде всего, оценивается статистическая значимость уравнения в целом. Оценка, как правило, проводится с использованием F-критерия Фишера. Расчет F-критерия базируется на правиле сложения дисперсий. А именно, общего дисперсионного признака-результата = дисперсия факторная + дисперсия остаточная.
Фактическая цена
Теоретическая цена
Построив уравнение регрессии можно рассчитать теоретическое значение признака-результата, т.е. рассчитанные по уравнению регрессии с учетом его параметров.
Эти значения будут характеризовать признак-результат, сформировавшийся под влиянием факторов включенных в анализ.
Между фактическими значениями признака-результата и рассчитанными на основе уравнения регрессии всегда существуют расхождения (остатки), обусловленные влиянием прочих факторов, не включенных в анализ.
Разность между теоретическими и фактическими значениями признака-результата называется остатками. Общая вариация признака-результата:
Вариация по признаку-результату, обусловленная вариацией признаков факторов, включенных в анализ оценивается через сопоставления теоретических значений резул. признака и его средних значений. Остаточная вариация через сопоставление теоретических и фактических значений результатирующего признака. Общая дисперсия , остаточная и фактическая имеют разное число степеней свободы.
Общая , п - число единиц в изучаемой совокупности
Фактическая , п - число факторов, включенных в анализ
Остаточная
F-критерий Фишера рассчитывается как отношение к , причем рассчитаны на одну степень свободы.
Использование F-критерия Фишера в качестве оценки статистической значимости уравнения регрессии очень логично. - это результат. признака, обусловленная факторами включенными в анализ, т.е. это доля объясненной результат. признака. - это (вариация) признака результата обусловленная факторами влияние которых не учитывается, т.е. не включенными в анализ.
Т.о. F-критерий призван оценить значимое превышение над . Если несущественно ниже , а тем более, если оно превышает , следовательно, в анализ включены не те факторы, которые действительно влияют на признак-результат.
F-критерий Фишера табулирован, фактическое значение сравнивается с табличным. Если , то уравнение регрессии признается статистически значимым. Если наоборот – уравнение статистически не значимо и не может использоваться на практике, значимость уравнения в целом говорит о статистической значимости показателей корелляции.
После оценки уравнения в целом необходимо оценить статистическую значимость параметров уравнения. Эта оценка осуществляется с использованием t-статистики Стьюдента. t-статистика рассчитывается как отношение параметров уравнения (по модулю) к их стандартной средней квадратической ошибке. Если оценивается однофакторная модель, то рассчитывается 2 статистики.
Во всех компьютерных программах расчет стандартной ошибки и t-статистики для параметров проводится с расчетом самих параметров. T-статистика табулирована. Если значение , то параметр признается статистически значимым, т.е. сформированным под влиянием неслучайных факторов.
Расчет t-статистики по существу означает проверку нулевой гипотезы о незначимости параметра, т.е. равенстве его нулю. При однофакторной модели оценивается 2 гипотезы: и
Уровень значимости принятия нулевой гипотезы зависит от уровня принятой доверительной вероятности. Так если исследователь задает уровень вероятности 95%, уровень значимости принятия будет рассчитываться , следовательно, если уровень значимости ≥ 0,05, то принимается и параметры считаются статистически незначимыми. Если , то отвергается и принимается альтернатива: и .
В пакетах прикладных программ по статистике также приводится уровень значимости принятия нулевых гипотез. Оценка значимости уравнения регрессии и его параметров может дать следующие результаты:
Во-первых, уравнение в целом значимо(по F-критерию) и также статистически значимы все параметры уравнения. Это означает, что полученное уравнение может быть использовано как для принятия управленческих решений, так и для прогнозирования.
Во-вторых, по F-критерию уравнение статистически значимо, но не значим хотя бы один из параметров уравнения. Уравнение может быть использовано для принятия управленческих решений относительно анализируемых факторов, но не может быть использовано для прогнозирования.
В-третьих, уравнение статистически не значимо, либо по F- критерию уравнение значимо, но не значимы все параметры полученного уравнения. Уравнение не может быть использовано не для каких целей.
Чтобы уравнение регрессии можно было признать моделью связи между признаком-результатом и признаками-факторами необходимо чтобы в него были включены все важнейшие факторы, определяющие результат, чтобы содержательная интерпретация параметров уравнения соответствовала теоретически обоснованным связям в изучаемом явлении. Коэффициент детерминации R 2 должен быть > 0,5.
При построении множественного уравнения регрессии целесообразно осуществить оценку по так называемому скорректированному коэффициенту детерминации (R 2). Величина R 2 (как и корелляции) возрастает при увеличение числа факторов включенных в анализ. Особенно завышается значение коэф-в в условиях небольших совокупностей. С целью погасить отрицательное влияние R 2 и корелляции корректируют с учетом числа степеней свободы, т.е. числа свободно варьирующих элементов при включении определенных факторов.
Скорректированный коэф-т детерминации
п –объем совокупности/число наблюдений
k – число факторов включенных в анализ
п-1 – число степеней свободы
(1-R 2) - величина остатка/ необъясненной дисперсии результативного признака
Всегда меньше R 2 . на основе можно сравнивать оценки уравнений с разным числом анализируемых факторов.
34. Задачи изучения динамических рядов.
Ряды динамики называют временными рядами или динамическими рядами. Динамический ряд – это упорядоченная во времени последовательность показателей, характеризующих то или иное явление (объем ВВП с 90 по 98 гг). Целью изучения рядов динамики является выявление закономерности развития изучаемого явления (основной тенденции) и прогнозирование на этой основе. Из определения РД следует, что любой ряд состоит из двух элементов: время t и уровень ряда (те конкретные значения показателя, на основе которого построен ДРяд). ДРяды могут быть 1)моментными – ряды, показатели которых фиксируются на момент времени, на определенную дату, 2)интервальными – ряды, показатели которого получают за какой-то период времени (1.численность населения СПб, 2.объем ВВП за период). Разделение рядов на моментные и интервальные необходимо, поскольку это определяет специфику расчета некоторых показателей ДРядов. Суммирование уровней интервальных рядов дает содержательно интерпретируемый результат, что нельзя сказать о суммировании уровней моментных рядов, поскольку последние содержат повторный счет. Важнейшей проблемой в анализе рядов динамики является проблема сопоставимости уровней ряда. Это понятие очень разноплановое. Уровни должны быть сопоставимы по методам расчета и по территории и охвату единиц совокупности. Если ДРяд строится в стоимостных показателях, то все уровни должны быть представлены или рассчитаны в сопоставимых ценах. При построении интервальных рядов уровни должны характеризовать одинаковые отрезки времени. При построении моментных РядовД уровни должны фиксироваться на одну и ту же дату. ДРяды могут быть полными и неполными. Неполные ряды используются в официальных изданиях (1980,1985,1990,1995,1996,1997,1998,1999…). Комплексный анализ РД включает изучение следующих моментов:
1. расчет показателей изменения уровней РД
2. расчет средних показателей РД
3. выявление основной тенденции ряда, построение трендовых моделей
4. оценка автокорреляции в РД, построение авторегрессионных моделей
5. корреляция РД (изучение связей м/у ДРядами)
6. прогнозирование РД.
35. Показателей изменения уровней временных рядов .
В общем виде РядД может быть представлен:
у – уровень ДР, t – момент или период времени к которому относится уровень (показатель), n – длина ДРяда (число периодов). при изучении ряда динамики рассчитывают следующие показатели: 1. абсолютный прирост, 2. коэффициент роста (темп роста), 3. ускорение, 4. коэффициент прироста (темп прироста), 5. абсолютное значение 1 % прироста. Рассчитываемые показатели могут быть: 1. цепные – получают путем сопоставления каждого уровня ряда с непосредственно предшествующим, 2. базисные – получают путем сопоставления с уровнем, выбранным за базу сравнения (если специально не оговаривается, за базу берется 1ый уровень ряда). 1. Цепные абсолютные приросты: . Показывает на сколько больше или меньше . Цепные абсолютные приросты называют показателями скорости изменения уровней динамического ряда. Базисный абсолютный прирост : . Если уровни ряда представляют собой относительные показатели, выраженные в %-ах, то абсолютный прирост выражается в пунктах изменения. 2. коэффициент роста (темпы роста): Рассчитывается как отношение уровней ряда к непосредственно предшествующим (цепные коэффициенты роста), либо к уровню, принятому за базу сравнения (базисные коэффициенты роста): . Характеризует во сколько раз каждый уровень ряда > или < предшествующего или базисного. На основе коэффициентов роста рассчитываются темпы роста. Это коэффициенты роста, выраженные в %ах: 3. на основе абсолютных приростов рассчитывают показатель – ускорение абсолютных приростов : . Ускорение – абсолютный прирост абсолютных приростов. Оценивает как изменяются сами приросты, они стабильны или принимают ускорение (возрастают). 4. темп прироста – это отношение прироста к базе сравнения. Выражается в %-ах: ; . Темп прироста – это темп роста минус 100%. Показывает на сколько % данный уровень ряда > или < предшествующего либо базисного. 5. абсолютное значение 1% прироста. Рассчитывается как отношение абсолютного прироста к темпу прироста, т.е.: - сотая доля предыдущего уровня. Все эти показатели рассчитываются для оценки степени изменения уровней ряда. Цепные коэффициенты и темпы роста называются показателями интенсивности изменения уровней ДРядов.
2. Расчет средних показателей РД Рассчитывают средние уровни рядов, средние абсолютные приросты, средние темпы роста и средние темпы прироста. Средние показатели рассчитываются с целью обобщения информации и возможности сравнивать уровни и показатели их изменения по различным рядам. 1. средний уровень ряда а) для интервальных временных рядов рассчитывается по средней арифметической простой: , где n – число уровней во временном ряду; б) для моментных рядов средний уровень рассчитывается по специфической формуле, которая называется средней хронологической: . 2. средний абсолютный прирост рассчитывается на основе цепных абсолютных приростов по средней арифметической простой:
. 3. Средний коэффициент роста рассчитывается на основе цепных коэффициентов роста по формуле средней геометрической: . При комментарии средних показателей ДРядов необходимо указывать 2 момента: период, который характеризует анализируемый показатель и временной интервал, за который построен ДРяд. 4. Средний темп роста : . 5. средний темп прироста : .
Проверку значимости уравнения регрессии произведем на основе
F-критерия Фишера:
Значение F-критерия Фишера можно найти в таблице Дисперсионный анализ протокола Еxcel. Табличное значение F-критерия при доверительной вероятности α = 0,95 и числе степеней свободы, равном v1 = k = 2 и v2 = n – k – 1= 50 – 2 – 1 = 47, составляет 0,051.
Поскольку Fрасч > Fтабл, уравнение регрессии следует признать значимым, то есть его можно использовать для анализа и прогнозирования.
Оценку значимости коэффициентов полученной модели, используя результаты отчета Excel, можно осуществить тремя способами.
Коэффициент уравнения регрессии признается значимым в том случае, если:
1) наблюдаемое значение t-статистики Стьюдента для этого коэффициента больше, чем критическое (табличное) значение статистики Стьюдента (для заданного уровня значимости, например α = 0,05, и числа степеней свободы df = n – k – 1, где n – число наблюдений, а k – число факторов в модели);
2) Р-значение t-статистики Стьюдента для этого коэффициента меньше, чем уровень значимости, например, α = 0,05;
3) доверительный интервал для этого коэффициента, вычисленный с некоторой доверительной вероятностью (например, 95%), не содержит ноль внутри себя, то есть нижняя 95% и верхняя 95% границы доверительного интервала имеют одинаковые знаки.
Значимость коэффициентов a 1 и a 2 проверим по второму и третьему способам:
P-значение (a 1 ) = 0,00 < 0,01 < 0,05.
Р-значение (a 2 ) = 0,00 < 0,01 < 0,05.
Следовательно, коэффициенты a 1 и a 2 значимы при 1%-ном уровне, а тем более при 5%-ном уровне значимости. Нижние и верхние 95% границы доверительного интервала имеют одинаковые знаки, следовательно, коэффициенты a 1 и a 2 значимы.
Определение объясняющей переменной, от которой
Может зависеть дисперсия случайных возмущений.
Проверка выполнения условия гомоскедастичности
Остатков по тесту Гольдфельда–Квандта
При проверке предпосылки МНК о гомоскедастичности остатков в модели множественной регрессии следует вначале определить, по отношению к какому из факторов дисперсия остатков более всего нарушена. Это можно сделать в результате визуального исследования графиков остатков, построенных по каждому из факторов, включенных в модель. Та из объясняющих переменных, от которой больше зависит дисперсия случайных возмущений, и будет упорядочена по возрастанию фактических значений при проверке теста Гольдфельда–Квандта. Графики легко получить в отчете, который формируется в результате использования инструмента Регрессия в пакете Анализ данных).
Графики остатков по каждому из факторов двухфакторной модели
Из представленных графиков видно, что дисперсия остатков более всего нарушена по отношению к фактору Краткосрочная дебиторская задолженность.
Проверим наличие гомоскедастичности в остатках двухфакторной модели на основе теста Гольдфельда–Квандта.
Уберем из середины упорядоченной совокупности С = 1/4 · n = 1/4 · 50 = 12,5 (12) значения. В результате получим две совокупности соответственно с малыми и большими значениями Х4.
Для каждой совокупности выполним расчеты:
Упорядочим переменные Y и X2 по возрастанию фактора Х4 (в Excel для этого можно использовать команду Данные – Сортировка по возрастанию Х4):
|
Данные, отсортированные по возрастанию X4: |
||
|
Сумма |
111234876536,511 |
||||
|
966570797682,068 |
|||||
|
455748832843,413 |
|||||
|
232578961097,877 |
|||||
|
834043911651,192 |
|||||
|
193722998259,505 |
|||||
|
1246409153509,290 |
|||||
|
31419681912489,100 |
|||||
|
2172804245053,280 |
|||||
|
768665257272,099 |
|||||
|
2732445494273,330 |
|||||
|
163253156450,331 |
|||||
|
18379855056009,900 |
|||||
|
10336693841766,000 |
|||||
|
Сумма |
69977593738424,600 |
Уравнения для совокупностей
Y = -27275,746 + 0,126X2 + 1,817 X4
Y = 61439,511 + 0,228X2 + 0,140X4
Результаты данной таблицы получены с помощью инструмента Регрессия поочередно к каждой из полученных совокупностей.
4. Найдем отношение полученных остаточных сумм квадратов
(в числителе должна быть большая сумма):
5. Вывод о наличии гомоскедастичности остатков делаем с помощью F-критерия Фишера с уровнем значимости α = 0,05 и двумя одинаковыми степенями свободы k1 = k2 = == 17
где р – число параметров уравнения регрессии:
Fтабл (0,05; 17; 17) = 9,28.
Так как Fтабл > R ,то подтверждается гомоскедастичность в остатках двухфакторной регрессии.
Итоговые тесты по эконометрике
1. Оценка значимости параметров уравнения регрессии осуществляется на основе:
А) t - критерия Стьюдента;
б) F -критерия Фишера – Снедекора;
в) средней квадратической ошибки;
г) средней ошибки аппроксимации.
2. Коэффициент регрессии в уравнении , характеризующем связь между объемом реализованной продукции (млн. руб.) и прибылью предприятий автомобильной промышленности за год (млн. руб.) означает, что при увеличении объема реализованной продукции на 1 млн. руб. прибыль увеличивается на:
г) 0,5млн. руб.;
в) 500тыс. руб.;
Г) 1,5 млн. руб.
3. Корреляционное отношение (индекс корреляции) измеряет степень тесноты связи между Х и Y :
а) только при нелинейной форме зависимости;
Б) при любой форме зависимости;
в) только при линейной зависимости.
4. По направлению связи бывают:
а) умеренные;
Б) прямые;
в) прямолинейные.
5. По
17 наблюдениям построено уравнение
регрессии:
.
Для проверки значимости уравнения
вычислено
наблюдаемое
значение
t
- статистики: 3.9. Вывод:
А) Уравнение значимо при a= 0,05;
б) Уравнение незначимо при a = 0,01;
в) Уравнение незначимо при a = 0,05.
6. Каковы последствия нарушения допущения МНК «математическое ожидание регрессионных остатков равно нулю»?
А) Смещенные оценки коэффициентов регрессии;
б) Эффективные, но несостоятельные оценки коэффициентов регрессии;
в) Неэффективные оценки коэффициентов регрессии;
г) Несостоятельные оценки коэффициентов регрессии.
7. Какое из следующих утверждений верно в случае гетероскедастичности остатков?
А) Выводы по t и F- статистикам являются ненадежными;
г) Оценки параметров уравнения регрессии являются смещенными.
8. На чем основан тест ранговой корреляции Спирмена?
А) На использовании t – статистики;
в) На использовании
;
9. На чем основан тест Уайта?
б) На использовании F– статистики;
В) На
использовании
;
г) На графическом анализе остатков.
10. Каким методом можно воспользоваться для устранения автокорреляции?
11. Как называется нарушение допущения о постоянстве дисперсии остатков?
а) Мультиколлинеарность;
б) Автокорреляция;
В) Гетероскедастичность;
г) Гомоскедастичность.
12. Фиктивные переменные вводятся в:
а) только в линейные модели;
б) только во множественную нелинейную регрессию;
в) только в нелинейные модели;
Г) как в линейные, так и в нелинейные модели, приводимые к линейному виду.
13. Если в матрице
парных коэффициентов корреляции
встречаются
,
то это свидетельствует:
А) О наличии мультиколлинеарности;
б) Об отсутствии мультиколлинеарности;
в) О наличии автокорреляции;
г) Об отсутствии гетероскедастичности.
14. С помощью какой меры невозможно избавиться от мультиколлинеарности?
а) Увеличение объема выборки;
Г) Преобразование случайной составляющей.
15. Если
и ранг матрицы А меньше (К-1) то уравнение:
а) сверхиденцифицировано;
Б) неидентифицировано;
в) точно идентифицировано.
16.Уравнение регрессии имеет вид:
А)
;
б)
;
в)
.
17.В чем состоит проблема идентификации модели?
А) получение однозначно определенных параметров модели, заданной системой одновременных уравнений;
б) выбор и реализация методов статистического оценивания неизвестных параметров модели по исходным статистическим данным;
в) проверка адекватности модели.
18. Какой метод применяется для оценивания параметров сверхиденцифицированного уравнения?
В) ДМНК, КМНК;
19. Если качественная переменная имеет k альтернативных значений, то при моделировании используются:
А) (k-1) фиктивная переменная;
б) kфиктивных переменных;
в) (k+1) фиктивная переменная.
20. Анализ тесноты и направления связей двух признаков осуществляется на основе:
А) парного коэффициента корреляции;
б) коэффициента детерминации;
в) множественного коэффициента корреляции.
21. В линейном
уравнении
x
=
а
0
+a
1
х
коэффициент регрессии показывает:
а) тесноту связи;
б) долю дисперсии "Y", зависимую от "X";
В) на сколько в среднем изменится "Y" при изменении "X" на одну единицу;
г) ошибку коэффициента корреляции.
22. Какой показатель используется для определения части вариации, обусловленной изменением величины изучаемого фактора?
а) коэффициент вариации;
б) коэффициент корреляции;
В) коэффициент детерминации;
г) коэффициент эластичности.
23. Коэффициент эластичности показывает:
А) на сколько % изменится значение y при изменении x на 1 %;
б) на сколько единиц своего измерения изменится значение yпри измененииxна 1 %;
в) на сколько % изменится значение yпри измененииxна ед. своего измерения.
24. Какие методы можно применить для обнаружения гетероскедастичности ?
А) Тест Голфелда-Квандта;
Б) Тест ранговой корреляции Спирмена;
в) Тест Дарбина- Уотсона.
25. На чем основан тест Голфельда -Квандта
а) На использовании t– статистики;
Б) На использовании F – статистики;
в) На использовании
;
г) На графическом анализе остатков.
26. С помощью каких методов нельзя устранить автокорреляцию остатков?
а) Обобщенным методом наименьших квадратов;
Б) Взвешенным методом наименьших квадратов;
В) Методом максимального правдоподобия;
Г) Двухшаговым методом наименьших квадратов.
27. Как называется нарушение допущения о независимости остатков?
а) Мультиколлинеарность;
Б) Автокорреляция;
в) Гетероскедастичность;
г) Гомоскедастичность.
28. Каким методом можно воспользоваться для устранения гетероскедастичности?
А) Обобщенным методом наименьших квадратов;
б) Взвешенным методом наименьших квадратов;
в) Методом максимального правдоподобия;
г) Двухшаговым методом наименьших квадратов.
30. Если по t -критерию большинство коэффициентов регрессии статистически значимы, а модель в целом по F - критерию незначима то это может свидетельствовать о:
а) Мультиколлинеарности;
Б) Об автокорреляции остатков;
в) О гетероскедастичности остатков;
г) Такой вариант невозможен.
31. Возможно ли с помощью преобразования переменных избавиться от мультиколлинеарности?
а) Эта мера эффективна только при увеличении объема выборки;
32. С помощью какого метода можно найти оценки параметра уравнения линейной регрессии:
А) методом наименьшего квадрата;
б) корреляционно-регрессионного анализа;
в) дисперсионного анализа.
33. Построено множественное линейное уравнение регрессии с фиктивными переменными. Для проверки значимости отдельных коэффициентов используется распределение:
а) Нормальное;
б) Стьюдента;
в) Пирсона;
г) Фишера-Снедекора.
34. Если
и ранг матрицы А больше (К-1) то уравнение:
А) сверхиденцифицировано;
б) неидентифицировано;
в) точно идентифицировано.
35. Для оценивания параметров точно идентифицируемой системы уравнений применяется:
а) ДМНК, КМНК;
б) ДМНК, МНК, КМНК;
36. Критерий Чоу основывается на применении:
А) F - статистики;
б) t - статистики;
в) критерии Дарбина –Уотсона.
37. Фиктивные переменные могут принимать значения:
г) любые значения.
39.
По 20 наблюдениям построено уравнение
регрессии:
.
Для
проверки значимости уравнения вычислено
значение статистики:
4.2.
Выводы:
а) Уравнение значимо при a=0.05;
б) Уравнение незначимо при a=0.05;
в) Уравнение незначимо при a=0.01.
40. Какое из следующих утверждений не верно в случае гетероскедастичности остатков?
а) Выводы по tиF- статистикам являются ненадежными;
б) Гетероскедастичность проявляется через низкое значение статистики Дарбина-Уотсона;
в) При гетероскедастичности оценки остаются эффективными;
г) Оценки являются смещенными.
41. Тест Чоу основан на сравнении:
А) дисперсий;
б) коэффициентов детерминации;
в) математических ожиданий;
г) средних.
42.
Если в тесте Чоу
то считается:
А) что разбиение на подынтервалы целесообразно с точки зрения улучшения качества модели;
б) модель является статистически незначимой;
в) модель является статистически значимой;
г) что нет смысла разбивать выборку на части.
43. Фиктивные переменные являются переменными:
а) качественными;
б) случайными;
В) количественными;
г) логическими.
44. Какой из перечисленных методов не может быть применен для обнаружения автокорреляции?
а) Метод рядов;
б) критерий Дарбина-Уотсона;
в) тест ранговой корреляции Спирмена;
Г) тест Уайта.
45. Простейшая структурная форма модели имеет вид:
А)
б)
в)
г)
.
46. С помощью каких мер возможно избавиться от мультиколлинеарности?
а) Увеличение объема выборки;
б) Исключения переменных высококоррелированных с остальными;
в) Изменение спецификации модели;
г) Преобразование случайной составляющей.
47. Если
и ранг матрицы А равен (К-1) то уравнение:
а) сверхиденцифицировано;
б) неидентифицировано;
В) точно идентифицировано;
48. Модель считается идентифицированной, если:
а) среди уравнений модели есть хотя бы одно нормальное;
Б) каждое уравнение системы идентифицируемо;
в) среди уравнений модели есть хотя бы одно неидентифицированное;
г) среди уравнений модели есть хотя бы одно сверхидентифицированное.
49. Какой метод применяется для оценивания параметров неиденцифицированного уравнения?
а) ДМНК, КМНК;
б) ДМНК, МНК;
В) параметры такого уравнения нельзя оценить.
50. На стыке каких областей знаний возникла эконометрика:
А) экономическая теория; экономическая и математическая статистика;
б) экономическая теория, математическая статистика и теория вероятности;
в) экономическая и математическая статистика, теория вероятности.
51. В множественном линейном уравнении регрессии строятся доверительные интервалы для коэффициентов регрессии с помощью распределения:
а) Нормального;
Б) Стьюдента;
в) Пирсона;
г) Фишера-Снедекора.
52. По 16 наблюдениям построено парное линейное уравнение регрессии. Для проверки значимости коэффициента регрессии вычислено t на6л =2.5.
а) Коэффициент незначим при a=0.05;
б) Коэффициент значим при a=0.05;
в) Коэффициент значим при a=0.01.
53. Известно, что между величинами X и Y существует положительная связь. В каких пределах находится парный коэффициент корреляции?
а) от -1 до 0;
б) от 0 до 1;
В) от –1 до 1.
54. Множественный коэффициент корреляции равен 0.9. Какой процент дисперсии результативного признака объясняется влиянием всех факторных признаков?
55. Какой из перечисленных методов не может быть применен для обнаружения гетероскедастичности ?
А) Тест Голфелда-Квандта;
б) Тест ранговой корреляции Спирмена;
в) метод рядов.
56. Приведенная форма модели представляет собой:
а) систему нелинейных функций экзогенных переменных от эндогенных;
Б) систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных;
в) систему линейных функций экзогенных переменных от эндогенных;
г) систему нормальных уравнений.
57. В каких пределах меняется частный коэффициент корреляции вычисленный по рекуретным формулам?
а) от
-
до +
;
б) от 0 до 1;
в) от
0 до +
;
Г) от –1 до +1.
58. В каких пределах меняется частный коэффициент корреляции вычисленный через коэффициент детерминации?
а) от
-
до +
;
Б) от 0 до 1;
в) от
0 до +
;
г) от –1 до +1.
59. Экзогенные переменные:
а) зависимые переменные;
Б) независимые переменные;
61. При добавлении в уравнение регрессии еще одного объясняющего фактора множественный коэффициент корреляции:
а) уменьшится;
б) возрастет;
в) сохранит свое значение.
62. Построено гиперболическое уравнение регрессии: Y = a + b / X . Для проверки значимости уравнения используется распределение:
а) Нормальное;
Б) Стьюдента;
в) Пирсона;
г) Фишера-Снедекора.
63. Для каких видов систем параметры отдельных эконометрических уравнений могут быть найдены с помощью традиционного метода наименьших квадратов?
а) система нормальных уравнений;
Б) система независимых уравнений;
В) система рекурсивных уравнений;
Г) система взаимозависимых уравнений.
64. Эндогенные переменные:
А) зависимые переменные;
б) независимые переменные;
в) датированные предыдущими моментами времени.
65. В каких пределах меняется коэффициент детерминации?
а) от
0 до +
;
б) от
-
до +
;
В) от 0 до +1;
г) от -l до +1.
66. Построено множественное линейное уравнение регрессии. Для проверки значимости отдельных коэффициентов используется распределение:
а) Нормальное;
б) Стьюдента;
в) Пирсона;
Г) Фишера-Снедекора.
67. При добавлении в уравнение регрессии еще одного объясняющего фактора коэффициент детерминации:
а) уменьшится;
Б) возрастет;
в) сохранит свое значение;
г) не уменьшится.
68. Суть метода наименьших квадратов заключается в том, что:
А) оценка определяется из условия минимизации суммы квадратов отклонений выборочных данных от определяемой оценки;
б) оценка определяется из условия минимизации суммы отклонений выборочных данных от определяемой оценки;
в) оценка определяется из условия минимизации суммы квадратов отклонений выборочной средней от выборочной дисперсии.
69. К какому классу нелинейных регрессий относится парабола:
73. К какому классу нелинейных регрессий относится экспоненциальная кривая:
74. К какому классу
нелинейных регрессий относится функция
вида ŷ
:
А) регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ переменных, но линейных по оцениваемым параметрам;
б) нелинейные регрессии по оцениваемым параметрам.
78. К какому классу
нелинейных регрессий относится функция
вида ŷ
:
а) регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ переменных, но линейных по оцениваемым параметрам;
Б) нелинейные регрессии по оцениваемым параметрам.
79.
В уравнении регрессии в форме гиперболы
ŷ
если величина
b
>0
,
то:
А) при увеличении факторного признака х значения результативного признака у замедленно уменьшаются, и при х→∞ средняя величина у будет равна а;
б)
то значение результативного признака
у
возрастает с замедленным ростом при
увеличении факторного признака х
,
и при х→∞
81. Коэффициент
эластичности определяется по формуле
А) Линейной функции;
б) Параболы;
в) Гиперболы;
г) Показательной кривой;
д) Степенной.
82. Коэффициент
эластичности определяется по формуле
для модели регрессии в форме:
а) Линейной функции;
Б) Параболы;
в) Гиперболы;
г) Показательной кривой;
д) Степенной.
86. Уравнение
называется:
А) линейным трендом;
б) параболическим трендом;
в) гиперболическим трендом;
г) экспоненциальным трендом.
89. Уравнение
называется:
а) линейным трендом;
б) параболическим трендом;
в) гиперболическим трендом;
Г) экспоненциальным трендом.
90. Система виды
называется:
А) системой независимых уравнений;
б) системой рекурсивных уравнений;
в) системой взаимозависимых (совместных, одновременных) уравнений.
93. Эконометрику можно определить как:
А) это самостоятельная научная дисциплина, объединяющая совокупность теоретических результатов, приемов, методов и моделей, предназначенных для того, чтобы на базе экономической теории, экономической статистики и математико-статистического инструментария придавать конкретное количественное выражение общим (качественным) закономерностям, обусловленным экономической теорией;
Б) наука об экономических измерениях;
В) статистический анализ экономических данных.
94. К задачам эконометрики можно отнести:
А) прогноз экономических и социально-экономических показателей, характеризующих состояние и развитие анализируемой системы;
Б) имитация возможных сценариев социально-экономического развития системы для выявления того, как планируемые изменения тех или иных поддающихся управлению параметров скажутся на выходных характеристиках;
в) проверка гипотез по статистическим данным.
95. По характеру различают связи:
А) функциональные и корреляционные;
б) функциональные, криволинейные и прямолинейные;
в) корреляционные и обратные;
г) статистические и прямые.
96. При прямой связи с увеличением факторного признака:
а) результативный признак уменьшается;
б) результативный признак не изменяется;
В) результативный признак увеличивается.
97. Какие методы используются для выявления наличия, характера и направления связи в статистике?
а) средних величин;
Б) сравнения параллельных рядов;
В) метод аналитической группировки;
г) относительных величин;
Д) графический метод.
98. Какой метод используется для выявления формы воздействия одних факторов на другие?
а) корреляционный анализ;
Б) регрессионный анализ;
в) индексный анализ;
г) дисперсионный анализ.
99. Какой метод используется для количественной оценки силы воздействия одних факторов на другие:
А) корреляционный анализ;
б) регрессионный анализ;
в) метод средних величин;
г) дисперсионный анализ.
100. Какие показатели по своей величине существуют в пределах от минус до плюс единицы:
а) коэффициент детерминации;
б) корреляционной отношение;
В) линейный коэффициент корреляции.
101. Коэффициент регрессии при однофакторной модели показывает:
А) на сколько единиц изменяется функция при изменении аргумента на одну единицу;
б) на сколько процентов изменяется функция на одну единицу изменения аргумента.
102. Коэффициент эластичности показывает:
а) на сколько процентов изменяется функция с изменением аргумента на одну единицу своего измерения;
Б) на сколько процентов изменяется функция с изменением аргумента на 1%;
в) на сколько единиц своего измерения изменяется функция с изменением аргумента на 1%.
105. Величина индекса корреляции, равная 0,087, свидетельствует:
А) о слабой их зависимости;
б) о сильной взаимосвязи;
в) об ошибках в вычислениях.
107. Величина парного коэффициента корреляции, равная 1,12, свидетельствует:
а) о слабой их зависимости;
б) о сильной взаимосвязи;
В) об ошибках в вычислениях.
109. Какие из приведенных чисел могут быть значениями парного коэффициента корреляции:
111. Какие из приведенных чисел могут быть значениями множественного коэффициента корреляции:
115. Отметьте правильную форму линейного уравнения регрессии:
а) ŷ
;
б) ŷ
;
в) ŷ
;
Г) ŷ
.
Оценка значимости уравнения множественной регрессии
Построение эмпирического уравнения регрессии является начальным этапом эконометрического анализа. Первое же построенное по выборке уравнение регрессии очень редко является удовлетворительным по тем или иным характеристикам. Поэтому следующей важнейшей задачей эконометрического анализа является проверка качества уравнения регрессии. В эконометрике принята устоявшаяся схема такой проверки.
Итак, проверка статистического качества оцененного уравнения регрессии проводится по следующим направлениям:
· проверка значимости уравнения регрессии;
· проверка статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии;
· проверка свойств данных, выполнимость которых предполагалась при оценивании уравнения (проверка выполнимости предпосылок МНК).
Проверка значимости уравнения множественной регрессии, так же как и парной регрессии, осуществляется с помощью критерия Фишера. В данном случае (в отличие от парной регрессии) выдвигается нулевая гипотеза Н 0 о том, что все коэффициенты регрессии равны нулю (b 1 =0, b 2 =0, … , b m =0). Критерий Фишера определяется по следующей формуле:
где D факт - факторная дисперсия, объясненная регрессией, на одну степень свободы; D ост - остаточная дисперсия на одну степень свободы; R 2 - коэффициент множественной детерминации; т х в уравнении регрессии (в парной линейной регрессии т = 1); п - число наблюдений.
Полученное значение F-критерия сравнивается с табличным при определенном уровне значимости. Если его фактическое значение больше табличного, тогда гипотеза Но о незначимости уравнения регрессии отвергается, и принимается альтернативная гипотеза о его статистической значимости.
С помощью критерия Фишера можно оценить значимость не только уравнения регрессии в целом, но и значимость дополнительного включения в модель каждого фактора. Такая оценка необходима для того, чтобы не загружать модель факторами, не оказывающими существенного влияния на результат. Кроме того, поскольку модель состоит из несколько факторов, то они могут вводиться в нее в различной последовательности, а так как между факторами существует корреляция, значимость включения в модель одного и того же фактора может различаться в зависимости от последовательности введения в нее факторов.
Для оценки значимости включения дополнительного фактора в модель рассчитывается частный критерий Фишера F xi . Он построен на сравнении прироста факторной дисперсии, обусловленного включением в модель дополнительного фактора, с остаточной дисперсией на одну степень свободы по регрессии в целом. Следовательно, формула расчета частного F-критерия для фактора будет иметь следующий вид:
где R 2 yx 1 x 2… xi … xp - коэффициент множественной детерминации для модели с полным набором п факторов; R 2 yx 1 x 2… x i -1 x i +1… xp - коэффициент множественной детерминации для модели, не включающей фактор x i ; п - число наблюдений; т - число параметров при факторах x в уравнении регрессии.
Фактическое значение частного критерия Фишера сравнивается с табличным при уровне значимости 0,05 или 0,1 и соответствующих числах степеней свободы. Если фактическое значение F xi превышает F табл , то дополнительное включение фактора x i в модель статистически оправдано, и коэффициент «чистой» регрессии b i при факторе x i статистически значим. Если же F xi меньше F табл , то дополнительное включение в модель фактора существенно не увеличивает долю объясненной вариации результата у, и, следовательно, его включение в модель не имеет смысла, коэффициент регрессии при данном факторе в этом случае статистически незначим.
С помощью частного критерия Фишера можно проверить значимость всех коэффициентов регрессии в предположении, что каждый соответствующий фактор x i вводится в уравнение множественной регрессии последним, а все остальные факторы были уже включены в модель раньше.
Оценка значимости коэффициентов «чистой» регрессии b i по критерию Стьюдента t может быть проведена и без расчета частных F -критериев. В этом случае, как и при парной регрессии, для каждого фактора применяется формула
t bi = b i / m bi ,
где b i - коэффициент «чистой» регрессии при факторе x i ; m bi - стандартная ошибка коэффициента регрессии b i .
Для проверки значимости анализируется отношение коэффициента регрессии и его среднеквадратичного отклонения. Это отношение является распределением Стьюдента, то есть для определения значимости используем t – критерий:
- СКО
от остаточной
дисперсии;
- сумма отклонений
от среднего значения
Если t рас. >t таб. , то коэффициент b i является значимым.
Доверительный интервал определяется по формуле:
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Взять исходные данные согласно варианту работы (по номеру студента в журнале). Задан статический объект управления с двумя входами X 1 , X 2 и одним выходом Y . На объекте проведен пассивный эксперимент и получена выборка объемом 30 точек, содержащая значения Х 1 , Х 2 и Y для каждого эксперимента.
Открыть новый файл в Excel 2007. Ввести исходную информацию в столбцы исходной таблицы - значения входных переменных X 1 , Х 2 и выходной переменной Y .
Подготовить дополнительно два столбца для ввода расчетных значений Y и остатков.
Вызвать программу «Регрессия»: Данные/ Анализ данных/ Регрессия.
Рис. 1. Диалоговое окно «Анализ данных».
Ввести в диалоговое окно «Регрессия» адреса исходных данных:
входной интервал Y, входной интервал X (2 столбца),
установить уровень надежности 95%,
в опции «Выходной интервал, указать левую верхнюю ячейку места вывода данных регрессионного анализа (первую ячейку на 2-странице рабочего листа),
включить опции «Остатки» и «График остатков»,
нажать кнопку ОК для запуска регрессионного анализа.
Рис. 2. Диалоговое окно «Регрессия».
Excel выведет 4 таблицы и 2 графика зависимости остатков от переменных Х1 и Х2 .
Отформатировать таблицу «Вывод итогов» - расширить столбец с наименованиями выходных данных, сделать во втором столбце 3 значащие цифры после запятой.
Отформатировать таблицу «Дисперсионный анализ»- сделать удобным для чтения и понимания количество значащих цифр после запятых, сократить наименование переменных и настроить ширину столбцов.
Отформатировать таблицу коэффициентов уравнения - сократить наименование переменных и скорректировать при необходимости ширину столбцов, сделать удобным для чтения и понимания количество значащих цифр, удалить 2 последних столбца (значения и разметку таблицы).
Данные из таблицы «Вывод остатка» перенести в подготовленные столбцы исходной таблицы, затем таблицу «Вывод остатка» удалить (опция «специальная вставка»).
Ввести полученные оценки коэффициентов в исходную таблицу.
Подтянуть таблицы результатов по максимуму вверх страницы.
Построить под таблицами диаграммы Y эксп , Y расч и ошибки прогноза (остатка).
Отформатировать диаграммы остатков. По полученным графикам оценить правильность модели по входам Х1, Х2 .
Распечатать результаты регрессионного анализа.
Разобраться с результатами регрессионного анализа.
Подготовить отчет по работе.
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Прием выполнения регрессионного анализа в пакете EXCEL представлен на рисунках 3-5.
Рис. 3. Пример регрессионного анализа в пакете EXCEL.
Рис.4 . Графики остатков переменных Х1, Х2
Рис. 5. Графики Y эксп ,Y расч и ошибки прогноза (остатка).
По данным регрессионного анализа можно сказать:
1. Уравнение регрессии полученное с помощью Excel, имеет вид:
Коэффициент детерминации:
Вариация результата на 46,5% объясняется вариацией факторов.
Общий F-критерий проверяет гипотезу о статистической значимости уравнения регрессии. Анализ выполняется при сравнении фактического и табличного значения F-критерия Фишера.
Так как фактическое
значение превышает табличное
,
то делаем вывод, что полученной уравнение
регрессии статистически значимо.
Коэффициент множественной корреляции:
b 0 :
t таб. (29, 0.975)=2.05
b 0 :
Доверительный интервал:
Определяем доверительный интервал для коэффициента b 1 :
Проверка значимости коэффициента b 1 :
t рас. >t таб. , коэффициент b 1 является значимым
Доверительный интервал:
Определяем доверительный интервал для коэффициентаb 2 :
Проверка значимости для коэффициентаb 2 :
Определяем доверительный интервал:
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
Таблица 2. Варианты заданий
|
№ варианта | |||||||||||||||
|
Результативный признак Y i |
Y 1 |
Y 1 |
Y 1 |
Y 1 |
Y 1 |
Y 1 |
Y 1 |
Y 1 |
Y 1 |
Y 1 |
Y 2 |
Y 2 |
Y 2 |
Y 2 |
Y 2 |
|
№ фактора X i | |||||||||||||||
|
№ фактора X i |
Продолжение таблицы 1
|
№ варианта | |||||||||||||||
|
Результативный признак Y i |
Y 2 |
Y 2 |
Y 2 |
Y 2 |
Y 2 |
Y 3 |
Y 3 |
Y 3 |
Y 3 |
Y 3 |
Y 3 |
Y 3 |
Y 3 |
Y 3 |
Y 3 |
|
№ фактора X i | |||||||||||||||
|
№ фактора X i |
Таблица 3. Исходные данные
|
Y 1 |
Y 2 |
Y 3 |
X 1 |
X 2 |
X 3 |
X 4 |
X 5 |
|
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
Задачи регрессионного анализа.
Предпосылки регрессионного анализа.
Основное уравнение дисперсионного анализа.
Что показывает F- отношение Фишера?
Как определяется табличное значение критерия Фишера?
Что показывает коэффициент детерминации?
Как определить значимость коэффициентов регрессии?
Как определить доверительный интервал коэффициентов регрессии?
Как определить расчетные значение t-критерия?
Как определить табличное значение t-критерия?
Сформулируйте основную идею дисперсионного анализа, для решения каких задач он наиболее эффективен?
Каковы основные теоретические предпосылки дисперсионный анализ?
Произведите разложение общей суммы квадратов отклонений на составляющие в дисперсионном анализе.
Как получить оценки дисперсий из сумм квадратов отклонений?
Как получаются необходимые числа степеней свободы?
Как определяется стандартная ошибка?
Поясните схему двухфакторного дисперсионного анализа.
Чем отличается перекрестная классификация от иерархической классификации?
Чем отличаются сбалансированные данные?
Отчет оформляется в текстовом редакторе Word на бумаге формата А4 ГОСТ 6656-76 (210х297 мм) и содержит:
Результаты вычисления.
Название лабораторной работы.
Цель работы.
ВРЕМЯ, ОТВЕДЕННОЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ
ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ
Подготовка к работе – 0,5 акад. часа.
Выполнение работы – 0,5 акад. часа.
Расчеты на ЭВМ – 0,5 акад. часа.
Оформление работы – 0,5 акад. часа.
ЛитЕратура
Идентификация объектов управления. / А. Д. Семенов, Д. В. Артамонов, А. В. Брюхачев. Учебное пособие. - Пенза: ПГУ, 2003. - 211 с.
Основы статистического анализа. Практикум по статистическим методам и исследованию операций с использованием пакетов STATISTIC и EXCEL. / Вуколов Э.А. Учебное пособие. - М.: ФОРУМ, 2008. - 464 с.
Основы теории идентификации объектов управления. / А.А. Игнатьев, С.А. Игнатьев. Учебное пособие. - Саратов: СГТУ, 2008. - 44 с.
Теория вероятности и математическая статистика в примерах и задачах с применением EXCEL. / Г.В. Горелова, И.А. Кацко. - Ростов н/Д: Феникс, 2006.- 475 с.
Цель работы 2
Основные понятия 2
Порядок выполнения работы 6
Пример выполнения работы 9
Вопросы для самоконтроля 13
Время, отведенное на выполнение работы 14
