О жизни Евклида почти ничего не известно. Первый комментатор "Начал" Прокл (V век нашей эры) не мог указать, где и когда родился и умер Евклид...

Некоторые биографические данные сохранились на страницах арабской рукописи XII века: "Евклид, сын Наукрата, известный под именем "Геометра", ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира".

Царь Птолемей I привлекал в Египет ученых и поэтов, создав для них храм муз - Мусейон. В числе приглашенных ученых оказался и Евклид, который основал в Александрии - столице Египта - математическую школу и написал для ее учеников свой фундаментальный труд, объединенный под общим названием "Начала". Он был написан около 325 года до нашей эры.

"Начала" состоят из тринадцати книг, построенных по единой логической схеме. Каждая из тринадцати книг начинается определением понятий (точка, линия, плоскость, фигура и т. д.), которые в ней используются, а затем на основе небольшого числа основных положений (5 аксиом и 5 постулатов), принимаемых без доказательства, строится вся система геометрии.

Книги I-IV охватывали геометрию, их содержание восходило к трудам пифагорейской школы. В книге V разрабатывалось учение о пропорциях. В книгах VII-IХ содержалось учение о числах, представляющее разработки пифагорейских первоисточников. В книгах Х-ХII содержатся определения площадей в плоскости и пространстве (стереометрия), теория иррациональности (особенно в Х книге); в XIII книге помещены исследования правильных тел.

"Начала" Евклида представляют собой изложение той геометрии, которая известна и поныне под названием евклидовой геометрии. Она описывает метрические свойства пространства, которое современная наука называет евклидовым пространством. Это пространство пустое, безграничное, изотропное, имеющее три измерения. Евклид придал математическую определенность атомистической идее пустого пространства, в котором движутся атомы. Простейшим геометрическим объектом у Евклида является точка, которую он определяет как то, что не имеет частей. Другими словами, точка - это неделимый атом пространства.

Учение о параллельных прямых и знаменитый пятый постулат ("Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых") определяют свойства евклидова пространства и его геометрию, отличную от неевклидовых геометрий.

На протяжении четырех столетий "Начала" публиковались 2500 раз: в среднем выходило ежегодно 6-7 изданий. До XX века книга считалась основным учебником по геометрии не только для школ, но и для университетов.

Евклиду принадлежат частично сохранившиеся, частично реконструированные в дальнейшем математические сочинения. Именно он ввел алгоритм для получения наибольшего общего делителя двух произвольно взятых натуральных чисел и алгоритм, названный "счетом Эратосфена", - для нахождения простых чисел от данного числа.

Евклид заложил основы геометрической оптики, изложенные им в сочинениях "Оптика" и "Катоптрика". У Евклида мы встречаем также описание монохорда - однострунного прибора для определения высоты тона струны и ее частей. Изобретение монохорда имело важное значение для развития музыки. Постепенно вместо одной струны стали использоваться две или три. Так было положено начало созданию клавишных инструментов, сначала клавесина, потом пианино.

Конечно, все особенности евклидова пространства были открыты не сразу, а в результате многовековой работы научной мысли, но отправным пунктом этой работы послужили "Начала" Евклида. Знание основ евклидовой геометрии является ныне необходимым элементом общего образования во всем мире.

Евкли́д или Эвкли́д (др.-греч. Εὐκλείδης , от «добрая слава» , время расцвета - около 300 года до н. э.) - древнегреческий математик , автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в 3 в. до н. э.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  К наиболее достоверным сведениям о жизни Евклида принято относить то немногое, что приводится в Комментариях Прокла к первой книге Начал Евклида. Отметив, что «писавшие по истории математики» не довели изложение развития этой науки до времени Евклида, Прокл указывает, что Евклид был старше Платоновского кружка, но моложе Архимеда и Эратосфена и «жил во времена Птолемея I Сотера », «потому что и Архимед, живший при Птолемее Первом, упоминает об Евклиде и, в частности, рассказывает, что Птолемей спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели Начала ; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии» .

  Дополнительные штрихи к портрету Евклида можно почерпнуть у Паппа и Стобея . Папп сообщает, что Евклид был мягок и любезен со всеми, кто мог хотя бы в малейшей степени способствовать развитию математических наук, а Стобей передаёт ещё один анекдот о Евклиде. Приступив к изучению геометрии и разобрав первую теорему, один юноша спросил у Евклида: «А какая мне будет выгода от этой науки?» Евклид подозвал раба и сказал: «Дай ему три обола , раз он хочет извлекать прибыль из учёбы» . Историчность рассказа сомнительна, поскольку аналогичный рассказывают о Платоне.

  Некоторые современные авторы трактуют утверждение Прокла - Евклид жил во времена Птолемея I Сотера - в том смысле, что Евклид жил при дворе Птолемея и был основателем Александрийского Мусейона . Следует, однако, отметить, что это представление утвердилось в Европе в XVII веке, средневековые же авторы отождествляли Евклида с учеником Сократа философом Евклидом из Мегар .

  Арабские авторы считали, что Евклид жил в Дамаске и издал там «Начала » Аполлония . Анонимная арабская рукопись XII века сообщает:

  Евклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», учёный старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира …

  В целом количество данных о Евклиде настолько скудно, что существует версия (правда, малораспространенная) что речь идет о коллективном псевдониме группы александрийских ученых .

  «Начала » Евклида

  Основное сочинение Евклида называется Начала . Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским , Леонтом и Февдием . Однако Начала Евклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино.

  Начала состоят из тринадцати книг. Первая и некоторые другие книги предваряются списком определений. Первой книге предпослан также список постулатов и аксиом. Как правило, постулаты задают базовые построения (напр., «требуется, чтобы через любые две точки можно было провести прямую»), а аксиомы - общие правила вывода при оперировании с величинами (напр., «если две величины равны третьей, они равны между собой»).

  В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой «геометрической алгебре». В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского . В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским , а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур. VII-IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам; автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский . В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строится чётные совершенные числа , доказывается бесконечность множества простых чисел . В X книге, представляющей собой самую объёмную и сложную часть Начал , строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский . XI книга содержит основы стереометрии. В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский . Наконец, XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским .

  В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две. XIV книга принадлежит александрийцу Гипсиклу (ок. 200 г. до н. э.), а XV книга создана во время жизни Исидора Милетского , строителя храма св. Софии в Константинополе (начало VI в. н. э.).

  Начала предоставляют общую основу для последующих геометрических трактатов Архимеда , Аполлония и других античных авторов; доказанные в них предложения считаются общеизвестными. Комментарии к Началам в античности составляли Герон , Порфирий , Папп , Прокл , Симпликий . Сохранился комментарий Прокла к I книге, а также комментарий Паппа к X книге (в арабском переводе). От античных авторов комментаторская традиция переходит к арабам, а потом и в Средневековую Европу.

  В создании и развитии науки Нового времени Начала также сыграли важную идейную роль. Они оставались образцом математического трактата, строго и систематически излагающего основные положения той или иной математической науки.

  Другие произведения Евклида

  Из других сочинений Евклида сохранились:

  • Данные (δεδομένα ) - о том, что необходимо, чтобы задать фигуру;
  • О делении (περὶ διαιρέσεων ) - сохранилось частично и только в арабском переводе; дает деление геометрических фигур на части, равные или состоящие между собой в заданном отношении;
  • Явления (φαινόμενα ) - приложения сферической геометрии к астрономии;
  • Оптика (ὀπτικά ) - о прямолинейном распространении света.

  По кратким описаниям известны:

  • Поризмы (πορίσματα ) - об условиях, определяющих кривые;
  • Конические сечения (κωνικά );
  • Поверхностные места (τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ ) - о свойствах конических сечений;
  • Псевдария (ψευδαρία ) - об ошибках в геометрических доказательствах;

  Евклиду приписываются также:

  Евклид и античная философия

  Уже со времён пифагорейцев и Платона арифметика, музыка, геометрия и астрономия (так называемые «математические» науки; позже Боэцием названные квадривием) рассматривались в качестве образца систематического мышления и предварительной ступени для изучения философии. Не случайно возникло предание, согласно которому над входом в платоновскую Академию была помещена надпись «Да не войдёт сюда не знающий геометрии».

  Геометрические чертежи, на которых при проведении вспомогательных линий неявная истина становится очевидной, служат иллюстрацией для учения о припоминании, развитого Платоном в Меноне и других диалогах. Предложения геометрии потому и называются теоремами , что для постижения их истины требуется воспринимать чертёж не простым чувственным зрением, но «очами разума». Всякий же чертёж к теореме представляет собой идею: мы видим перед собой эту фигуру, а ведём рассуждения и делаем заключения сразу для всех фигур одного с ней вида.

  Некоторый «платонизм» Евклида связан также с тем, что в Тимее Платона рассматривается учение о четырёх элементах, которым соответствуют четыре правильных многогранника (тетраэдр - огонь, октаэдр - воздух, икосаэдр - вода, куб - земля), пятый же многогранник, додекаэдр, «достался в удел фигуре вселенной». В связи с этим Начала могут рассматриваться как развёрнутое со всеми необходимыми посылками и связками учение о построении пяти правильных многогранников - так называемых «платоновых тел», завершающееся доказательством того факта, что других правильных тел, кроме этих пяти, не существует.

  Для аристотелевского учения о доказательстве, развитого во Второй аналитике , Начала также предоставляют богатый материал. Геометрия в Началах строится как выводная система знаний, в которой все предложения последовательно выводятся одно за другим по цепочке, опирающейся на небольшой набор начальных утверждений, принятых без доказательства. Согласно Аристотелю , такие начальные утверждения должны иметься, так как цепочка вывода должна где-то начинаться, чтобы не быть бесконечной. Далее, Евклид старается доказывать утверждения общего характера, что тоже соответствует любимому примеру Аристотеля : «если всякому равнобедренному треугольнику присуще иметь углы, в сумме равные двум прямым, то это присуще ему не потому что он равнобедренный, а потому что он треугольник» (An. Post. 85b12).

  Псевдо-Евклид

  Евклиду приписываются два важных трактата об античной теории музыки: «Гармоническое введение» («Гармоника») и «Деление канона» (

  Трудно представить, что науки, в частности – математика, какой мы ее знаем ныне, зародились более двух тысяч лет назад. Эпоха эллинизма стала благодатной почвой для развития отраслей знаний естественного направления: землеведение, астрономия, физика, а также математика и ее производные. Из учения об измерении земель и выросла наука геометрия (греч. γεωμετρία).

  К когорте наиболее прославленных математиков той эпохи можно смело отнести ученого Евклида, которого многие зовут отцом всей нынешней математической теории. Шло время, народы сменяли друг друга, целые цивилизации уходили в небытие, города теряли свои очертания, а его «Начала», начертанные на хрупком и недолговечном папирусе, прошли сквозь века. Давайте попытаемся разобраться, кем был этот человек на самом деле и какие выдающиеся заслуги заставляют нас помнить о нем.

  Содержние

  Разносторонний Евклид: биография первого математика–подвижника

  Это имя наверняка слышал каждый человек старше семи лет, вне зависимости от пола и вероисповедания. Научная деятельность древнего мыслителя развивалась бурно и стремительно: он заложил основы целой области знаний, а также возвел ее на должный уровень. Такой плодотворной карьере может позавидовать любой наш современник. Законы одной из самых сложных дисциплин того времени он, играя, открыл обществу, тем самым указывая совершенно новые пути развития, ранее скрытые пеленой загадок и тайн.

  Интересно

  Считается, что именно этот ученый подвел итоги развития древнегреческой математики, при этом давая ей направление новых витков движения. Его основополагающий труд содержит колоссальные знания в области теории чисел, планиметрии и стереометрии. Вклад Евклида в науку неоценим, ведь, кроме вышеозначенного, существуют его работы и в иных областях знаний: музыке, оптике и астрономии.

  Кратко об отце геометрии

  Несмотря на прошедшие столетия с момента его смерти, этот великий греческий ученый недаром считается светилом мировой науки даже в наши дни. Он умудрился значительно опередить свое время и создать стройную систему аксиом, а ко всему еще и изложить собственное видение и понимание в фундаментальном труде под названием «Начала». Он оказался настолько высоким по уровню, что многие века преподавание основ геометрии велось именно по разработанной им системе. Да и сегодня евклидова геометрия злободневна и популярна.

  Суть теории проста: ученый приводит предпосылки, не требующие доказательств, разделяя их при этом на постулаты и аксиомы. Первых он предлагает пять, а вторых – семь. Основываться они должно исключительно на непредубеждённой логике. К примеру, один из постулатов гласит: через две произвольные точки на плоскости или в пространстве можно провести прямую (одну), тем самым соединив их. В полном произведении тринадцать книг (томов), посвященных различным разделам геометрии.

  Если кратко, Евклидовы научные трактаты переведены на большинство мировых языков, а его система общепринята и концептуальна. Они издавались более двух с половиной тысяч раз в разных странах, только начиная с пятнадцатого века нашей эры. По праву «Начала» занимают второе место после Библии по распространенности, хотя ни одного античного экземпляра до наших дней не дошло. Однако и другие его творения не были забыты потомками.

  Влияние теорий древнего грека испытал на себе каждый более или менее прославленный ученый, совершающий открытия в областях знаний, тесно связанных с геометрией в частности, и математикой – в целом. Открытия Евклида по заслугам оценивал Галилео Галилей. Они дали толчок для логических умозаключений Николая Коперника, а Исаак Ньютон даже дал собственной работе тождественное название. Альберт Эйнштейн считал труды грека гениальными, называл их «настолько точным чудом человеческой мысли, что не вызывают у изучающих никаких вопросов».

  Детство и ранние годы Евклида

  О ранних годах этого человека известно совсем мало, так как прошло очень длительное время, а многие документы были безнадежно утрачены. Наиболее достоверными для нас представляются факты, приведенные античным философом Проклом Диадохом в его комментариях к «Началам». Однако ничего конкретного нельзя ожидать даже и от этих кратких отрывков, ведь сам последователь неоплатонизма жил через добрых восемь сотен лет после Евклида. Потому знать о нем мог только понаслышке, следовательно – делать на основе этих записок какие-либо выводы будет неправильно.

  Прокл считал, что отец геометрии был старше Эратосфена и Архимеда, потому что в их сочинениях имеются отсылки на его труды. По всей видимости, он родился примерно в 350-320 годах до нашей эры во время правления сатрапа, а затем и царя Египта – Птолемея I Сотера, славящегося как поклонника наук и искусств.

  Древние арабские источники говорят, что он появился на свет в Александрии или Тире, был из состоятельного семейства, что и позволило ему получить блестящее образование. Существует версия, что предки его проживали в Нократе, а в дальнейшем перебрались в Дамаск.

  Стоит узнать

  Сведения и исторические данные о древнегреческом ученом математике и родоначальнике геометрии настолько скудны, а также разрозненны, что у многих закрадываются сомнения в их достоверности. Существует версия, будто спорить, кто такой Евклид, абсолютно бесполезно, ведь это вовсе не один человек, а целая группа. Многие считают, что это своего рода собирательный образ всех ученых тех времен, внесших свой колоссальный вклад в дальнейшее развитие учений.

  Некоторые документы свидетельствуют, что талантливый грек проходил обучение в центре науки того времени – Афинах, у самого мэтра Платона. Дополнительные данные о личности ученого дает математик и инженер эпохи позднего эллинизма Папп Александрийский, а также виртуозный византийский писатель-компилятор Иоанн Стобей, несмотря на то, что жили они намного позже. Вполне вероятно, что имелись документы, подтверждающие указанные ими факты, а у нас нет оснований не доверять их словам. Математик Евклид большую часть времени проводил в Александрийской библиотеке, основанной еще великим Птолемеем, что «проторил путь, идущему за ним».

  Научная деятельность основателя геометрии

  

  Самый основной, фундаментальный труд Евклида носит название «Начала». Однако этот древнегреческий ученый был далеко не первым, кто именно так назвал свое сочинение. До него подобным образом именовали работы Февдий из Магнесии, Леонт, а также Гиппократ Хиосский. Следует учитывать только, что умозаключения грека вытеснили более ранние исследования прославленных деятелей науки и более двух тысяч лет оставались актуальными. До нынешнего времени их смело можно называть базовыми, с которых начинают свой путь в изучении геометрии и математики те, кто только делает первые шаги.

  «Начала»

  Сочинения Евклида разделены им самим ровно на тринадцать томов (книг). В первой и парочке других предварительно дается список сокращений и определений, которые использовал ученый. Также в изначальном труде имеется список аксиом и постулатов, о которых мы уже упоминали. Постулаты изначально определяют направления логических построений, а аксиомы представляют собой правила оперирования различными величинами.

  • В первой книге трактата геометр изучает свойства различных параллелограммов и треугольников. Венцом ее можно назвать знаменитую Теорему Пифагора, на которой основана чуть ли не вся современная математика. Вторая книга посвящается «геометрической алгебре» и тоже восходит опять же к пифагорейцам.
  • В третьей, а также четвертой книге «Начал» рассказывается с пояснениями теория окружностей. В этом же разделе рассматриваются описанные и вписанные многогранники. При создании этой части сочинения ученый использовал знания, представленные Гиппократом Хиосским.
  • Пятая книга полностью освещает сложные теории пропорций, основанные на выводах Евдокса Книдского, древнегреческого механика и математика. В шестом разделе она на практике прилагается к расчетам подобных фигур.
  • С седьмой по девятую книги снова посвящаются и восходят к пифагорейцам. Они содержат простейшую теорию чисел, сведения о геометрических прогрессиях и пропорциях. Вероятно, что одним из авторов, а может, просто вдохновителем этой работы стал философ Архит Тарентский.
  • Наиболее объемной по количеству поданного материала считается десятый том «Начал». По совместительству он считается еще и наиболее сложным для понимания, ведь в нем выстраивается классификация разнообразных иррациональностей.
  • В одиннадцатом разделе труда речь идет о стереометрии.
  • Двенадцатая книга посвящена методу исчерпывания в поиске доказательств теорем об отношениях площадей конусов, пирамид и окружностей. Общепринятой считается точка зрения, будто авторство ее принадлежит все тому же знаменитому Евдоксу Книдскому.
  • Последняя тринадцатая книга полностью рассматривает вопрос построения правильных пяти многогранников. Возможно, в работе над ней математик опирался на знания, полученные математиком Теэтетом Афинским.

  Древние манускрипты на этом не завершаются: известны еще четырнадцатая, а также пятнадцатая книги, однако авторство их уже достоверно известно. Первую из них составил геометр Гипсикл Александрийский, а вторую – византийский архитектор Исидор Милетский. Это произведение сыграло огромную роль в дальнейшем развитии науки, а также в качестве примера для будущих поколений, как излагать свои мысли четко, понятно и доступно.

  Другие произведения

  Благодаря «Началам» про Евклида узнал весь мир. Но у него имелись и иные сочинения, которые тоже заслуживают немалого внимания. Они написаны все в той же лаконичной и сухо-информативной манере, имеют хорошо ощущаемую структуру, что значительно облегчает процесс осмысления.

  • Дошли до наших дней трактаты «О делении», «Данные», «Явления» и «Оптика».
  • Только по описаниям известны такие работы, как «Псевдария», «Конические сечения», «Поризмы» и «Поверхностные места».
  • Существуют еще и приписываемые Евклиду труды: «Деление канона» о музыке и Катоптрика – теория зеркал и преломления солнечных лучей (света).

  Какие произведения действительно имеют отношение к самому ученому, а какие принадлежат кому-то другому, доподлинно неизвестно.

  Аксиомы как метод познания

  

  История Евклида чрезвычайно туманна ввиду ее древности. Но совершенно точно известно, что метод познания, называемый аксиоматическим, придумал именно он. Суть его довольно проста – это совокупность развития, классификации и построения научно-теоретических данных в форме умозаключений, в которых определенные утверждения принимаются в качестве совершенных исходных положений (аксиом).

  Именно из них при помощи логических размышлений и выводятся впоследствии все остальные утверждения (теоремы). Цепочка выводов не может продолжаться бесконечно, она должна где-то иметь начало, для этого и потребовалось создание подобной концепции. В своих рассуждениях подобного рода Евклид опирался на знания, даваемые древним ученым Аристотелем (могу перелинковать на статью о нем).

  Геометрия - допуск к философии

  Еще в шестом веке до нашей эры в Греции сложилось течение пифагорейцев, которые считали, что музыка, арифметика, астрономия и геометрия – это основа, образец систематического мышления. Даже Платон высказывал мнение, что эти науки являются первой ступенькой перед переходом к изучению более сложной философии. Неслучайно история Евклида обычно иллюстрируется преданием, будто перед входом в платоновскую Академию, где он и обучался, была приколочена табличка с надписью: «Да не сможет войти в это здание тот, кто не знает основ геометрии».

  Основа таких выводов понятна – в геометрии при помощи вспомогательных линий на чертеже неявная истина становится вполне очевидной. Это можно использовать для иллюстрации припоминания скрытых (завуалированных) фактов в философских рассуждениях, при которых для постижения нужно взирать на мысленную схему не глазами, а «очами разума». Фактически все это можно свести к единственной фразе: «Мы воспринимаем (видим) чертеж (фигуру), производим определенные логические рассуждения, делаем из них выводы и заключения не только относительно этого конкретного частного случая, а сразу для множества фигур подобного плана».

  Изучение геометрической оптики

  Стоит сказать несколько слов о текстах, которые условно считаются принадлежащими перу нашего персонажа. В первую очередь это основы оптики и преломления света, которые были изложены в сочинении «Катоптрика», датируемом приблизительно трехсотым годом до нашей эры. Автор придерживается мнения, что зрение осуществляется (реализуется) при помощи так называемых зрительных лучей, что недалеко от истины (световые волны).

  Однако в те времена предполагалось, что лучи эти испускает не светило, а человеческий глаз, как бы ощупывая окружающие его предметы. Забавная теория, не правда ли? Именно на ней основывал свои наработки о перспективе Евклид. Оригинальный текст трактата, к большому сожалению потомков, не сохранился, потому разобраться с деталями довольно сложно.

  В этом труде давалось определение основному закону отражения света. Он устанавливает направление движения луча, который сталкивается с зеркальной поверхностью. Отражаемые и падающие лучи лежат в одной плоскости с нормалью (перпендикулярной к отражающей поверхности прямой), при этом она делит угол меж лучами на две равные части. Каждый школьник знает этот закон в несколько иной интерпретации, не полностью отражающей картину формулировке: «Угол падения равен углу отражения».

  Не стоит забывать, что от различных типов поверхностей световые лучи могут отражаться по-разному. Потому принято разделять зеркальное и диффузное отражение. В первом случае речь идет о стремящемуся к идеалу зеркалу, а во втором – о шероховатой и неровной плоскости, когда лучи отражаются хаотично в различных направлениях.

  Наследие Евклида

  

  Знания, получаемые об этом древнем ученом, настолько скудны, что о нем мало что известно, в особенности относительно его повседневных занятий, расписания дня и прочих бытовых мелочей. Совершенно непонятно, как сложилась личная жизнь Евклида, был ли он женат, имел ли потомков. Существует предположение, что он организовал и открыл собственную частную школу при богатой Александрийской библиотеке, что может свидетельствовать о его состоятельности. Считается, что и после завершения обучения в этом заведении, наставник всегда помогал своим подопечным с разработкой теорий и написанием собственных научных трактатов.

  Внешность его тоже остаётся загадкой, а все портреты и скульптуры созданы через много десятков лет после смерти. Разобраться, чем известен Евклид, несложно, но вот точных дат в событиях его жизни или определенности в дне рождения или смерти тоже нет. Считается, что он мог скончаться уже к двести шестидесятому году до нашей эры.

  Богатое научное наследие, которое после себя оставил этот воистину великий грек, в разы превосходит интерес к тому впечатлению, которое он производил при жизни. Работы математика и философа пережили его на более, чем двести веков, а это колоссальная цифра. Его трудами зачитывались и вдохновлялись многие известные личности, к примеру, Карл Ян или Авраам Линкольн. Говорят, что шестнадцатый президент Соединенных Штатов повсюду носил с собой томик Евклида и в свои речи любил вставлять цитаты из его произведений.

  ЕВКЛИД (Eukleides)

  III век до н. э.

  Евклид (иначе Эвклид) – древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Евклиде крайне скудны. Известно лишь, что учителями Евклида в Афинах были ученики Платона , а в правление Птолемея I (306-283 до н.э.) он преподавал в Александрийской академии. Евклид – первый математик александрийской школы.

  Главная работа Архимеда – "Начала" (лат. Elementa ) – содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел (например, алгоритм Евклида ); состоит из 13-ти книг, к которым присоединяют две книги о пяти правильных многогранниках, иногда приписываемых Гипсиклу Александрийскому. В "Началах" он подвёл итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. На протяжении более двух тысячелетий евклидовы "Начала" оставались основным трудом по элементарной математике.

  Из других математических сочинений Евклида надо отметить "О делении фигур", сохранившееся в арабском переводе, четыре книги "Конические сечения", материал которых вошёл в одноимённое произведение Аполлония Пергского, а также "Поризмы", представление о которых можно получить из "Математического собрания" Паппа Александрийского.

  В трудах Евклида дано систематическое изложение т. н. евклидовой геометрии , система аксиом которой опирается на следующие основные понятия: точка, прямая, плоскость, движение и следующие отношения: "точка лежит на прямой на плоскости", "точка лежит между двумя другими". В современном изложении систему аксиом евклидовой геометрии разбивают на следующие пять групп.

  I. Аксиомы сочетания. 1) Через каждые две точки можно провести прямую и притом только одну. 2) На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. 3) Через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну. 4) На каждой плоскости есть по крайней мере три точки и существуют хотя бы четыре точки, не лежащие в одной плоскости. 5) Если две точки данной прямой лежат на данной плоскости, то и сама прямая лежит на этой плоскости. 6) Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют ещё одну общую точку (и, следовательно, общую прямую).

  II. Аксиомы порядка. 1) Если точка В лежит между А и С, то все три лежат на одной прямой. 2) Для каждых точек А, В существует такая точка С, что В лежит между А и С. 3) Из трёх точек прямой только одна лежит между двумя другими. 4) Если прямая пересекает одну сторону треугольника, то она пересекает ещё другую его сторону или проходит через вершину (отрезок AB определяется как множество точек, лежащих между А и В; соответственно определяются стороны треугольника).

  III. Аксиомы движения. 1) Движение ставит в соответствие точкам точки, прямым прямые, плоскостям плоскости, сохраняя принадлежность точек прямым и плоскостям. 2) Два последовательных движения дают опять движение, и для всякого движения есть обратное. 3) Если даны точки А, A" и полуплоскости a , a ", ограниченные продолженными полупрямыми а, а" , которые исходят из точек А, A" , то существует движение, и притом единственное, переводящее А , а , a в A" , a ", a" (полупрямая и полуплоскость легко определяются на основе понятий сочетания и порядка).

  IV. Аксиомы непрерывности. 1) Аксиома Архимеда: всякий отрезок можно перекрыть любым отрезком, откладывая его на первом достаточное число раз (откладывание отрезка осуществляется движением). 2) Аксиома Кантора: если дана последовательность отрезков, вложенных один в другой, то все они имеют хотя бы одну общую точку.

  V. Аксиома параллельности Евклида. Через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а , можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а .

  Возникновение евклидовой геометрии тесно связано с наглядными представлениями об окружающем нас мире (прямые линии – натянутые нити, лучи света и т. п.). Длительный процесс углубления наших представлений привёл к более абстрактному пониманию геометрии. Открытие Н. И. Лобачевским геометрии, отличной от евклидовой, показало, что наши представления о пространстве не являются априорными. Иными словами, евклидова геометрия не может претендовать на роль единственной геометрии, описывающей свойства окружающего нас пространства. Развитие естествознания (главным образом физики и астрономии) показало, что евклидова геометрия описывает структуру окружающего нас пространства лишь с определённой степенью точности и не пригодна для описания свойств пространства, связанных с перемещениями тел со скоростями, близкими к световой. Т. о., евклидова геометрия может рассматриваться как первое приближение для описания структуры реального физического пространства.

  Купчинские юношеские чтения «Наука. Творчество. Поиск».
  Секция «Математика»

  «Евклид и его вклад в науку»

  Работу выполнил ученик 6 «Б» класса
  Суровегин Николай
  Руководитель: Васильева
  Дарья Геннадьевна

  Санкт-Петербург 2008

  I. Введение…………………………………….…3

  II. Математика в Древней Греции……………..4

  III. Биография Евклида……………………….….5

  IV. Алгоритм Евклида……………………………8

  V. Аксиоматика....……………………………….11

  VI. Евклидова геометрия и V постулат………..12

  VII. Начала…………………………………………19

  VIII. Задачи из начал Евклида…………………...22

  IX. Решение задач………………………………..23

  X. Ссылки на информационные источники…...24

  XI. Заключение…………………………………..25

  I. Введение

  В этом реферате я постараюсь рассказать вам всё, что я знаю о великом древнегреческом математике Евклиде. Идея написать именно про него пришла мне в голову после того, как я узнал об алгоритме Евклида. Этот ученый, очень много сделал для алгебры и геометрии, и его открытиями мы пользуемся постоянно. В реферате также есть практические задачи из начал, книг Евклида.

  Глава II.
  Математика в Древней Греции

  Умственное развитие, а вместе с ним и развитие науки никогда не шло во всём человечестве равномерно. В то время как одни народы стояли во главе умственного движения человечества, другие оказывались едва вышедшими из первобытного состояния. Когда у последних вместе с улучшением условий их жизни, появлялись, под действием внутренних или внешних импульсов, стремления к приобретению знаний, тогда они должны были прежде всего догонять передовые племена. Если в то же время передовые племена, достигнув высшей доступной им по их способностям или по созданным для них историей условиям жизни степени развития, вырождались и падали, в умственном развитии всего человечества происходил застой или даже видимый временный упадок: приобретение новых знаний прекращалось и умственная работа человечества сводилась единственно к упомянутому усвоению отставшими племенами знаний, уже приобретённых человечеством. Только по достижении этого усвоения отставшие племена получали возможность вести далее дело приобретения новых знаний и через это, в свою очередь, становиться во главе умственного движения человечества. Таким образом, в истории умственной деятельности каждого народа, когда-нибудь занимавшего место в ряду передовых деятелей человечества и затем свершившего весь свой жизненный цикл, исследователь должен различать три периода: период усвоения знаний, уже приобретённых человечеством; период самостоятельной деятельности в общей всему человечеству области приобретения новых знаний и, наконец, период упадка и умственного вырождения. Обращаясь от этого общего рассмотрения хода умственного развития человечества к той из отдельных его областей, которая представляется развитием М., мы находим, что при современном состоянии историко-математических знаний нам доступно изучение вполне завершённого цикла деятельности отдельного народа в области развития М. только на одной нации, на древних греках.

  Глава I I I Биография Евклида

  ЭВКЛИД (Euclid c.356-300 ВС)

  БИОГРАФИЯ

  Эвклид - древнегреческий математик, автор первых дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения о жизни и деятельности Эвклида крайне ограничены. Известно, что он родом из Афин, был учеником Платона. Научная деятельность его протекала в Александрии, где он создал математическую школу.

  ДОСТИЖЕНИЯ В МАТЕМАТИКЕ

  Главные труды Эвклида "Начала" (латинизированное назв.- "Элементы") содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включающего элементы пределов (Метод исчерпывания). В "Началах" Эвклид подытожил все предшествующие достижения греческой математики и создал фундамент для ее дальнейшего развития. Историческое значение "Начал" Эвклида заключается в том, что в них впервые сделана попытка логического построения геометрии на основе аксиоматики . Основным недостатком аксиоматики Эвклида следует считать ее неполноту; нет аксиом непрерывности, движения и порядка, поэтому Эвклиду часто приходилось апеллировать к интуиции, доверять глазу. Книги XIV и XV являются более поздними добавлениями, но являются ли первые тринадцать книг созданием одного человека или школы, руководимой Эвклидом, не известно. С 1482г. "Начала" Эвклида выдержали более 500 изд. на всех языках мира.

  "Начала"

  Первые четыре книги "Начал" посвящены геометрии на плоскости, и в них изучаются основные свойства прямолинейных фигур и окружностей.

  Книге I предпосланы определения понятий, используемых в дальнейшем. Они носят интуитивный характер, поскольку определены в терминах физической реальности: "Точка есть то, что не имеет частей". "Линия же - длина без ширины". "Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению точкам на ней". "Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину" и т. д.

  За этими определениями следуют пять постулатов: "Допустим:
  1) что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию;
  2) и что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой;
  3) и что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг;
  4) и что все прямые углы равны между собой;
  5) и если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых."

  Три первых постулата обеспечивают существование прямой и окружности. Пятый, так называемый постулат о параллельных - самый знаменитый. Он всегда интриговал математиков, которые пытались вывести его из четырех предыдущих или вообще отбросить, до тех пор, когда в XIX в. обнаружилось, что можно построить другие, неевклидовы геометрии и что пятый постулат имеет право на существование. Затем Эвклид сформулировал аксиомы, которые в противоположность постулатам, справедливым только для геометрии, применимы вообще ко всем наукам. Далее Эвклид доказывает в книге I элементарные свойства треугольников, среди которых - условия равенства. Затем описываются некоторые геометрические построения, такие, как построение биссектрисы угла, середины отрезка и перпендикуляра к прямой. В книгу I включены также теория параллельных и вычисление площадей некоторых плоских фигур (треугольников, параллелограммов и квадратов). В книге II заложены основы так называемой геометрической алгебры, восходящей к школе Пифагора. Все величины в ней представлены геометрически, и операции над числами выполняются геометрически. Числа заменены отрезками прямой. Книга III целиком посвящена геометрии окружности, а в книге IV изучаются правильные многоугольники, вписанные в окружность, а также описанные вокруг нее.

  Теория пропорций, разработанная в книге V, одинаково хорошо прилагалась и к соизмеримым величинам и к несоизмеримым величинам. Эвклид включал в понятие "величины" длины, площади, объемы, веса, углы, временные интервалы и т. д. Отказавшись использовать геометрическую очевидность, но избегая также обращения к арифметике, он не приписывал величинам численных значений. Первые определения книги V "Начал" Эвклида: 1. Часть есть величина (от) величины, меньшая (от) большей, если она измеряет большую. 2. Кратное же - большая (от) меньшей, если она измеряется меньшей. 3. Отношение есть некоторая зависимость двух однородных величин по количеству. 4. Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга. 5. Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке. 6. Величины же, имеющие то же отношение, пусть называются пропорциональными. Из восемнадцати определений, помещенных в начале всей книги, и общих понятий, сформулированных в книге I, с восхитительным изяществом и почти без логических недочетов Эвклид вывел (не прибегая к постулатам, содержание которых было геометрическим) двадцать теорем, в которых устанавливались свойства величин и их отношений.

  В книге VI теория пропорций книги V применяется к прямолинейным фигурам, к геометрии на плоскости и, в частности, к подобным фигурам, причем "подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют углы, равные по порядку, и стороны при равных углах пропорциональные". Книги VII, VIII и IX составляют трактат по теории чисел; теория пропорций в них прилагается к числам. В книге VII определяется равенство отношений целых чисел, или, с современной точки зрения, строится теория рациональных чисел. Из многих свойств чисел, исследованных Эвклидом (четность, делимость и т. д.), приведем, например, предложение 20 книги IX, устанавливающее существование бесконечного множества "первых", т. е. простых чисел: "Первых чисел существует больше всякого предложенного количества первых чисел". Его доказательство от противного до сих пор можно найти в учебниках по алгебре.

  Книга X читается с трудом; она содержит классификацию квадратичных иррациональных величин, которые там представлены геометрически прямыми и прямоугольниками. Вот как сформулировано предложение 1 в книге X "Начал" Эвклида: "Если заданы две неравные величины и из большей вычитается часть, большая половины, а из остатка - снова часть, большая половины, и это повторяется постоянно, то когда-нибудь остается величина, которая меньше, чем меньшая из данных величин". На современном языке: Если a и b - положительные вещественные числа и a >b, то всегда существует такое натуральное число m, что mb > a. Эвклид доказал справедливость геометрических преобразований.

  Книга XI посвящена стереометрии. В книге XII, которая также восходит, вероятно, к Евдоксу, с помощью Метода исчерпывания площади криволинейных фигур сравниваются с площадями многоугольников. Предметом книги XIII является построение правильных многогранников. Построение Платоновых тел, которым, по-видимому завершаются "Начала", дало основание причислить Эвклида к последователям философии Платона.

  ОБЛАСТИ ИНТЕРЕСОВ

  Кроме "Начал" до нас дошли такие произведения Эвклида: книга под латинским названием "Data" ("Данные") (с описанием условий, при которых какой-нибудь математический образ можно считать "данным"); книга по оптике (содержащая учение о перспективе), по катоптрике (излагающую теорию искажений в зеркалах), книга "Деление фигур". Не сохранилась педагогическая работа Эвклида "О ложных заключениях" (в математике). Эвклид написал также сочинения по астрономии ("Явления") и музыке.

  ЗАСЛУГИ ЕВКЛИДА

  ЕВКЛИДА ТЕОРЕМА о простых числах: множество простых чисел является бесконечным ("Начала" Евклида, книга IX, теорема 20). Более точную количественную информацию о множестве простых чисел в натуральном ряде содержит Чебышева теорема о простых числах и асимптотич. закон распределения простых чисел.

  ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ - геометрия пространства, описываемого системой аксиом, первое систематическое (но не достаточно строгое) изложение к-рой было дано в "Началах" Евклида. Обычно пространство Е. г. описывается как совокупрость объектов трех родов, называемых "точками", "прямыми", "плоскостями"; отношениями между ними: принадлежности, порядка ("лежать между"), конгруэнтности (или понятием движения); непрерывностью. Особое место в аксиоматике Е. г. занимает, аксиома о параллельных (пятый постулат). Первая достаточно строгая аксиоматика Ё. г. была предложена Д. Гильбертом (D. Hilbert, см. Гильберта система аксиом). Существуют модификации системы аксиом Гильберта и другие варианты аксиоматики Е. г. Напр., в векторно-точечной аксиоматике за одно из основных понятий принято понятие вектора; в основу аксиоматики Е. г. может быть положено отношение симметрии (см. ).

  ЕВКЛИДОВО ПОЛЕ - упорядоченное поле, в к-ром каждый положительный элемент является квадратом. Напр., поле R действительных чисел - Е. п. Поле Q рациональных чисел не является Е. п. в. Л. Попов.

  ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО - пространство, свойства к-рого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В более общем смысле Е. п.- конечномерное действительное векторное пространство Rn со скалярным произведением (х, у), х, к-рое в надлежащим образом выбранных координатах (декартовых) выражается формулой

  Глава I V Алгоритм Евклида

  Алгори́тм Евкли́да - алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел. Этот агоритм применим также для нахождения наибольшего общего делителя многочленов, кольца в которых применим алгоритм Евклида получили название Евклидовы кольца.

  Евклид описал его в VII книге и в X книге «Начал». В обоих случаях он дал геометрическое описание алгоритма, для нахождения «общей меры» двух отрезков. Алгоритм Евклида был известен в древнегреческой математике по крайней мере за век до Евклида под названием «антифайресис» - «последовательное взаимное вычитание».

  Алгоритм Евклида для целых чисел

  Пусть a и b суть целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел

  определена тем, что каждое rk это остаток от деления пред-предыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, т. е.

  a = bq 0 + r 1

  b = r 1q 1 + r 2

  r 1 = r 2q 2 + r 3

  https://pandia.ru/text/78/222/images/image004_176.gif" width="47" height="20">, доказывается индукцией по m .

  Корректность этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:

  Пусть a = bq + r , тогда (a ,b ) = (b ,r ). (0,r ) = r . для любого ненулевого r . Расширенный алгоритм Евклида и соотношение Безу

  Формулы для ri могут быть переписаны следующим образом:

  r 1 = a + b (- q 0)

  r 2 = b − r 1q 1 = a (− q 1) + b (1 + q 1q 0)

  margin-top:0cm" type="disc"> Отношение a / b допускает представление в виде цепной дроби:

  .

  Отношение - t / s , в расширенном алгоритме Евклида допускает представление в виде цепной дроби:

  .

  Вариации и обобщения

  Кольца в которых применим алгоритм Евклида называются евклидовыми кольцами, к ним относятся в частности кольцо многочленов..

  Ускоренные версии алгоритма

  Одним из методов ускорения целочисленного алгоритма Евклида является выбор симметричного остатка :

  

  Одна из наиболее многообещающих версий ускоренного алгоритма Евклида для полиномов основывается на том, что промежуточные значения алгоритма в основном зависят от высоких степеней. При применении стратегии Divide & Conqurer наблюдается большое ускорение асимптотической скорости алгоритма.

  Глава V .
  Аксиоматика

  Аксио́ма (др.-греч. ἀξίωμα - утверждение, положение) или постулат - утверждение, принимаемое без доказательства.

  Аксиоматизация теории - явное указание конечного набора аксиом. Утверждения, вытекающие из аксиом, называются теоремами.

  Примеры различных, но равносильных наборов аксиом можно встретить в математической логике и евклидовой геометрии.

  Набор аксиом называется непротиворечивым, если из аксиом набора, пользуясь правилами логики, нельзя прийти к противоречию. Аксиомы являются своего рода "точками отсчёта" для построения любой науки, при этом сами они не доказываются, а выводятся непосредственно из эмпирического наблюдения (опыта).

  Впервые термин «аксиома» встречается у Аристо-322 до н. э.) и перешёл в математику от философов Древней Греции. Евклид различает понятия «постулат» и «аксиома», не объясняя их различия. Со времен Боэция постулаты переводят как требования (petitio), аксиомы - как общие понятия. Первоначально слово «аксиома» имело значение «истина, очевидная сама по себе». В разных манускриптах Начал Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, не совпадает их порядок. Вероятно переписчики придерживались разных воззрений на различие этих понятий.

  Глава VI . Евклидова геометрия и V постулат

  Евкли́дова геоме́трия (старое произношение - «Эвклидова») - привычная геометрия, изучаемая в школе. Обычно относится к двум или трём измерениям, хотя можно говорить о многомерном евклидовом пространстве. Евклидова геометрия названа в честь древнегреческого математика Евклида. В его книге «Начала», в частности систематически описывается геометрия евклидовой плоскости.

  Аксиоматизация

  Аксиомы, приведённые Евклидом в «Началах», таковы:

  Через каждые две точки можно провести ровно одну прямую. Вдоль любого отрезка можно провести прямую. Имея отрезок, можно провести окружность так, что отрезок - радиус, а один из его концов - центр окружности. Все прямые углы равны. Аксиома параллельности Евклида: Через точку А вне прямой а в плоскости, проходящей через А и а, можно провести лишь одну прямую, не пересекающую а.

  Чтобы определить трёхмерное евклидово пространство, нужно ещё несколько аксиом. Существуют и другие, современные аксиоматизации.

  Проблема полной аксиоматизации элементарной геометрии - одна из проблем геометрии, возникшая в Древней Греции в связи с критикой этой первой попытки построить полную систему аксиом так, чтобы все утверждения евклидовой геометрии следовали из этих аксиом чисто логическим выводом без наглядности чертежей. Первую такую полную систему аксиом создал Д. Гильберт в 1899 г, она уже состоит из 20 аксиом разбитых на 5 групп.

  Аксиома параллельности Евклида или пятый постулат - одна из аксиом, лежащих в основании классической планиметрии. Впервые приведена в «Началах» Евклида .

  И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

  Евклид различает понятия постулат и аксиома , не объясняя их различия; в разных манускриптах «Начал» Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, равно как не совпадает и их порядок. В классическом издании «Начал» Гейберга сформулированное утверждение является пятым постулатом.

  На современном языке текст Евклида можно переформулировать так:

  Если сумма внутренних углов с общей стороной, образованных двумя прямыми при пересечении их третьей, с одной из сторон от секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются, и притом по ту же сторону от секущей.

  В школьных учебниках обычно приводится другая формулировка, эквивалентная (равносильная) V постулату и принадлежащая Проклу :

  margin-top:0cm" type="disc"> Существует прямоугольник (хотя бы один ), то есть четырёхугольник, у которого все углы прямые. Существуют подобные, но не равные треугольники. Любую фигуру можно пропорционально увеличить. Существует треугольник как угодно большой площади. Через каждую точку внутри острого угла всегда можно провести прямую, пересекающую обе его стороны. Если две прямые в одну сторону расходятся, то в другую - сближаются. Сближающиеся прямые рано или поздно пересекутся. Существуют такие прямые, что расстояние от точек одной до другой постоянно. Если две прямые начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем начали (в ту же сторону) расходиться. Сумма углов одинакова у всех треугольников. Существует треугольник, сумма углов которого равна двум прямым. Существуют параллельные прямые, причём две прямые, параллельные третьей, параллельны и друг другу. Существуют параллельные прямые, причём прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, непременно пересечёт и другую. Для всякого треугольника существует описанная окружность. Справедлива теорема Пифагора.

  Эквивалентность их означает, что все они могут быть доказаны, если принять V постулат, и наоборот, заменив V постулат на любое из этих утверждений, мы сможем доказать исходный V постулат как теорему.

  В неевклидовых геометриях вместо V постулата используется иная аксиома, что позволяет создать альтернативную, внутренне логически непротиворечивую систему. Например, в геометрии Лобачевского формулировка такая: «в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести по крайней мере две различные прямые, не пересекающиеся с данной ». А в сферической геометрии, где аналогами прямых выступают большие круги, параллельные прямые вообще отсутствуют.

  Понятно, что в неевклидовой геометрии все вышеперечисленные эквивалентные утверждения неверны.

  Попытки доказательства

  Пятый постулат резко выделяется среди других, вполне очевидных (см. Начала Евклида). Он больше похож на сложную, неочевидную теорему. Евклид, вероятно, сознавал это, и поэтому первые 28 предложений в «Началах» доказываются без его помощи.

  Математики с давних времён пытались „улучшить Евклида“ - либо исключить пятый постулат из числа исходных утверждений, то есть доказать его, опираясь на остальные постулаты и аксиомы, либо заменить его другим, столь же очевидным, как другие постулаты. Надежду на достижимость этого результата поддерживало то, что IV постулат Евклида (все прямые углы равны ) действительно оказался лишним - он был строго доказан как теорема и исключён из перечня аксиом.

  За два тысячелетия было предложено много доказательств пятого постулата, но в каждом из них рано или поздно обнаруживался порочный круг: оказывалось, что среди явных или неявных посылок содержится утверждение, которое не удаётся доказать без использования того же пятого постулата.

  Первое дошедшее до нас упоминание о такой попытке сообщает, что этим занимался Клавдий Птолемей, но детали его доказательства неизвестны. Прокл (V век н. э.) приводит собственное доказательство, опираясь на допущение, что расстояние между двумя непересекающимися прямыми есть ограниченная величина; впоследствии выяснилось, что это допущение равносильно пятому постулату.

  После упадка античной культуры V постулатом занялись математики стран ислама. Доказательство аль-Аббаса аль-Джаухари, ученика аль-Хорезми (IX век) , неявно подразумевало: если при пересечении двух прямых какой-либо третьей накрест-лежащие углы равны, то то же имеет место при пересечении тех же двух прямых любой другой. И это допущение равносильно V постулату.

  Сабит ибн Курра (IX век) дал 2 доказательства; в первом он опирается на предположение, что если две прямые удаляются друг от друга с одной стороны, они обязательно приближаются с другой стороны. Во втором - исходит из существования равноотстоящих прямых, причём этот факт ибн Курра пытается вывести из представления о "простом движении", т. е. о равномерном движении на фиксированном расстоянии от прямой (ему представляется очевидным, что траектория такого движения - тоже прямая) . Каждое из двух упомянутых утверждений Ибн Курры эквивалентно V постулату.

  https://pandia.ru/text/78/222/images/image011_109.gif" width="180" height="229">

  Сочинение Саккери

  Глубокое исследование V постулата, основанное на совершенно оригинальном принципе, провёл в 1733 г. итальянский монах-иезуит, преподаватель математики Джироламо Саккери. Он опубликовал труд под названием "Евклид, очищенный от всех пятен, или же геометрическая попытка установить самые первые начала всей геометрии ". Идея Саккери состояла в том, чтобы заменить V постулат противоположным утверждением, вывести из новой системы аксиом как можно больше следствий, тем самым построив "ложную геометрию", и найти в этой геометрии противоречия или заведомо неприемлемые положения. Тогда справедливость V постулата будет доказана от противного .

  Саккери рассматривает всё те же три гипотезы о 4-м угле четырехугольника Ламберта. Гипотезу тупого угла он отверг сразу по формальным соображениям. Легко показать, что в этом случае вообще все прямые пересекаются, а тогда можно заключить, что V постулат Евклида справедлив - ведь он как раз и утверждает, что при некоторых условиях прямые пересекаются. Отсюда делается вывод, что «гипотеза тупого угла всегда целиком ложна, так как она сама себя разрушает » .

  Поcле этого Саккери переходит к опровержению „гипотезы острого угла“, и здесь его исследование гораздо интереснее. Он допускает, что она верна, и, одно за другим, доказывает целый ряд следствий. Сам того не подозревая, он продвигается довольно далеко в построении геометрии Лобачевского. Многие теоремы, доказанные Саккери, выглядят интуитивно неприемлемыми, но он продолжает цепочку теорем. Наконец, Саккери доказывает, что в "ложной геометрии" любые две прямые или пересекаются, или имеют общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они удаляются друг от друга, или же удаляются друг от друга с одной стороны и неограниченно сближаются с другой. В этом месте Саккери делает неожиданный вывод: «гипотеза острого угла совершенно ложна, так как противоречит природе прямой линии » .

  Видимо, Саккери чувствовал необоснованность этого „доказательства“, потому что исследование продолжается. Он рассматривает эквидистанту - геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от прямой; в отличие от своих предшественников, Саккери знает, что в рассматриваемом случае это вовсе не прямая. Однако, вычисляя длину её дуги, Саккери допускает ошибку и приходит к реальному противоречию, после чего заканчивает исследование и с облегчением заявляет, что он «вырвал эту зловредную гипотезу с корнем ».

  Во второй половине XVIII века было опубликовано более 50 работ по теории параллельных. В обзоре тех лет () исследуется более 30 попыток доказать V постулат и доказывается их ошибочность. Известный немецкий математик и физик, с которым Клюгель переписывался, тоже заинтересовался проблемой; его «Теория параллельных линий» была издана посмертно в 1786 г.

  Сферическая геометрия: все прямые пересекаются

  Ламберт первым обнаружил, что „геометрия тупого угла“ реализуется на сфере, если под прямыми понимать большие круги. Он, как и Саккери, вывел из „гипотезы острого угла“ множество следствий, причём продвинулся гораздо дальше Саккери; в частности, он обнаружил, что дополнение суммы углов треугольника до 180° пропорционально площади треугольника.

  В своей книге Ламберт проницательно отметил:

  Мне кажется очень замечательным, что вторая гипотеза [тупого угла] оправдывается, если вместо плоских треугольников взять сферические. Я из этого почти должен был бы сделать вывод - заключение, что третья гипотеза имеет место на какой-то мнимой сфере. Во всяком случае, должна же существовать причина, почему она на плоскости далеко не так легко поддается опровержению, как это могло быть сделано в отношении второй гипотезы.

  https://pandia.ru/text/78/222/images/image014_44.jpg" width="180" height="135">

  Лобачевский и Бойяи проявили бо́льшую смелость, чем Гаусс, и почти одновременно (около 1830 г.), независимо друг от друга, опубликовали изложение того, что сейчас называется геометрией Лобачевского. Как профессионал высокого класса, Лобачевский продвинулся в исследовании новой геометрии дальше всех, и она по праву носит его имя. Но главная его заслуга не в этом, а в том, что он поверил в новую геометрию и имел мужество отстаивать своё убеждение (он даже предложил экспериментально проверить V постулат, измерив сумму углов треугольника) .

  Трагическая судьба Лобачевского, подвергнутого остракизму в научном мире и служебном окружении за слишком смелые мысли, показала, что опасения Гаусса были не напрасны. Но и его борьба была не напрасна. Спустя несколько десятилетий математики (Бернхард Риман), а затем и физики (Общая теория относительности, Эйнштейн), окончательно покончили с догматом об евклидовой геометрии физического пространства.

  Доказать непротиворечивость новой геометрии ни Лобачевский, ни Бойяи не сумели - тогда математика ещё не располагала необходимыми для этого средствами. Только спустя 40 лет появились модель Клейна и другие модели, реализующие аксиоматику геометрии Лобачевского на базе евклидовой геометрии. Эти модели убедительно доказывают, что отрицание V постулата не противоречит остальным аксиомам геометрии; отсюда вытекает, что V постулат независим от остальных аксиом, и доказать его невозможно. Многовековая драма идей завершилась.

  Глава VII. Начала Евклида.

  Греческий текст Начал.

  При раскопках античных городов найдено несколько папирусов, содержащих небольшие фрагменты Начал Евклида. Самый известный был найден на развалинах древнего города Oxyrhynchus, вблизи современной деревни Behnesa (примерно в 110 милях вверх по Нилу от Каира и в 10 милях к западу от него) в и содержит формулировку II prop. 5 с рисунком.

  https://pandia.ru/text/78/222/images/image016_37.jpg" width="292" height="230 src=">.jpg" width="291" height="229 src=">