Инструкция

Прежде чем избавиться от иррациональности в знаменателе , следует ее тип, и в зависимости от этого продолжать решение. И хотя любая иррациональность следует из простого присутствия , различные их комбинации и степени предполагают разные алгоритмы.

Наличие под чертой дроби корня дробной степени вида m/n, причем n>mЭто выражение выглядит следующим образом:a/√(b^m/n).

Избавьтесь от подобной иррациональности также путем ввода множителя, на этот раз более сложного: b^(n-m)/n, т.е. из показателя степени самого корня нужно степень выражения под его знаком. Тогда в знаменателе останется только :a/(b^m/n) → a √(b^(n-m)/n)/b.Пример 2: 5/(4^3/5) → 5 √(4^2/5)/4 = 5 √(16^1/5)/4.

Сумма квадратных корнейУмножьте обе составляющих дроби на аналогичную разность. Тогда из иррационального сложения корней знаменатель преобразуется в / под знаком корня:a/(√b + √c) → a (√b - √c)/(b - c).Пример 3: 9/(√13 + √23) → 9 (√13 - √23)/(13 - 23) = 9 (√23 - √13)/10.

Сумма/разность кубических корнейВыберите в качестве дополнительного множителя неполный квадрат разности, если в знаменателе стоит сумма, и соответственно неполный квадрат суммы для разности корней:a/(∛b ± ∛c) → a (∛b² ∓ ∛(b c) + ∛c²)/ ((∛b ± ∛c) ∛b² ∓ ∛(b c) + ∛c²) →a (∛b² ∓ ∛(b c) + ∛c²)/(b ± c).Пример 4: 7/(∛5 + ∛4) → 7 (∛25- ∛20 + ∛16)/9.

Если в задаче присутствует и квадратный и , тогда разделите решение на два этапа: последовательно выведите из знаменателя квадратный корень, а затем кубический. Делается это по уже известным вам методам: в первом действии нужно выбрать множитель разности/суммы корней, во втором – неполный квадрат суммы/разности.

Видео по теме

Источники:

• как избавиться от иррациональности в дроби

Совет 2: Как избавиться от иррациональности в знаменателе

Корректная запись дробного числа не содержит иррациональности в знаменателе . Такая запись и легче воспринимается на вид, поэтому при появлении иррациональности в знаменателе разумно от нее избавиться. В этом случае иррациональность может перейти в числитель.

Инструкция

Для начала можно рассмотреть простейший - 1/sqrt(2). Квадратный корень из двух - число в .В этом случае необходимо домножить числитель и знаменатель на ее знаменатель. Это обеспечит в знаменателе . Действительно, sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2. Умножение двух одинаковых квадратных корней друг на друга даст в итоге то, что находится под каждым из корней: в данном случае - двойку.В итоге: 1/sqrt(2) = (1*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)/2. Этот алгоритм подходит также к дробям, в знаменателе которых корень умножается на рациональное число. Числитель и знаменатель в этом случае нужно умножить на корень, находящийся в знаменателе .Пример: 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = sqrt(3)/(2*3) = sqrt(3)/6.

Абсолютно аналогично нужно действовать, если в знаменателе находится не корень, а, скажем кубический или любой другой степени. Корень в знаменателе нужно умножать на точно такой же корень, на этот же корень умножать и числитель. Тогда корень перейдет в числитель.

В более случае в знаменателе присутствует сумма или иррационального и или двух иррациональных чисел.В случае суммы (разности) двух квадратных корней или квадратного корня и рационального числа можно воспользоваться хорошо известной формулой (x+y)(x-y) = (x^2)-(y^2). Она поможет избавиться от в знаменателе . Если в знаменателе разность, то домножать числитель и знаменатель нужно на сумму таких же чисел, если сумма - то на разность. Эта домножаемая сумма или разность будет называться сопряженной к выражению, стоящему в знаменателе .Эффект этой хорошо виден на примере: 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = (sqrt(2)-1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (sqrt(2)-1)/(2-1) = sqrt(2)-1.

Если в знаменателе присутствует сумма (разность), в которой присутствует корень большей степени, то ситуация становится нетривиальной и избавление от иррациональности в знаменателе не всегда возможно

Источники:

• избавиться от корня в знаменателе в 2019

Совет 3: Как освободиться от иррациональности в знаменателе дроби

Дробь состоит из числителя, расположенного сверху линии, и знаменателя, на который он делится, расположенного внизу. Иррациональным называется число, которое не может быть представлено в виде дроби с целым числом в числителе и натуральным в знаменателе . Такими числами являются, например, квадратный корень из двух или пи. Обычно, когда говорят об иррациональности в знаменателе , подразумевается корень.

Инструкция

Избавьтесь от умножением на знаменатель. Таким образом будет перенесена в числитель. При умножении числителя и знаменателя на одно и то же число, значение дроби не меняется. Воспользуйтесь этим вариантом, если весь знаменатель представляет собой корень.

Умножьте числитель и знаменатель на знаменатель нужное число раз, в зависимости от корня. Если корень квадратный, то один раз.

Умножьте числитель и знаменатель дроби на знаменатель, то есть на √(x+2). Изначальный пример (56-y)/√(x+2) превратится в ((56-y)*√(x+2))/(√(x+2)*√(x+2)). В итоге получится ((56-y)*√(x+2))/(x+2). Теперь корень находится в числителе, а в знаменателе нет иррациональности .

Умножьте знаменатель на сумму корней. Умножьте на то же самое числитель, чтобы значение дроби не изменилось. Дробь примет вид ((56-y)*(√(x+2)+√y))/((√(x+2)-√y)*(√(x+2)+√y)).

Воспользуйтесь вышеупомянутым свойством (x+y)*(x-y)=x²-y² и освободите знаменатель от иррациональности . В результате получится ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(x+2-y). Теперь корень находится в числителе, а знаменатель избавился от иррациональности .

В сложных случаях повторяйте оба этих варианта, применяя по необходимости. Учтите, что не всегда возможно избавиться от иррациональности в знаменателе .

Источники:

Алгебраическая дробь - это выражение вида А/В, где буквы А и В обозначают любые числовые или буквенные выражения. Зачастую числитель и знаменатель в алгебраических дробях имеют громоздкий вид, но действия с такими дробями следует совершать по тем же правилам, что и действия с обыкновенными, где числитель и знаменатель - целые положительные числа.

Инструкция

Если даны дроби , переведите их (дробь, в которой числитель больше знаменателя): умножьте знаменатель на целую часть и прибавьте числитель. Так число 2 1/3 превратится в 7/3. Для этого 3 умножают на 2 и прибавляют единицу.

Если надо перевести дробь в неправильную, то представьте ее как числа без запятой на единицу со столькими нулями, сколько чисел стоит после запятой. Например, число 2,5 представьте как 25/10 (если сократить, то получится 5/2), а число 3,61 - как 361/100. Оперировать с неправильными зачастую легче, чем со смешанными или десятичными.

Если надо или вычесть одну дробь из другой, а они имеют разные знаменатели, приведите дроби к общему знаменателю. Для этого найдите число, которое будет наименьшим общим кратным (НОК) обоим знаменателям или нескольким, если дробей больше двух. НОК - это число, которое разделится на знаменатели всех данных дробей. К примеру, для 2 и 5 это число 10.

После знака «равно» проведите горизонтальную черту и запишите в знаменатель это число (НОК). Проставьте к каждому слагаемому дополнительные множители - то число, на которое надо домножить и числитель, и знаменатель, чтобы получить НОК. Последовательно умножайте числители на дополнительные множители, сохраняя знак сложения или вычитания.

Посчитайте результат, сократите его при необходимости или выделите целую часть. Для примера - необходимо сложить ⅓ и ¼. НОК для обеих дробей - 12. Тогда дополнительный множитель к первой дроби - 4, ко второй - 3. Итого: ⅓+¼=(1·4+1·3)/12=7/12.

Если дан на умножение, перемножьте между собой числители (это будет числитель результата) и знаменатели (получится знаменатель результата). В этом случае к общему знаменателю их приводить не надо.

Раскладывайте числитель и знаменатель на множители, если это требуется. Например, выносите общий множитель за скобку или раскладывайте по формулам сокращённого умножения, чтобы затем можно было при необходимости сократить числитель и знаменатель на НОД - наименьший общий делитель.

Обратите внимание

Числа складывайте с числами, буквы одного рода с буквами того же рода. Например, нельзя сложить 3a и 4b, значит в числителе так и останется их сумма или разность - 3a±4b.

Источники:

• Умножение и деление дробей

В быту чаще всего встречаются не натуральные числа: 1, 2, 3, 4 и т.д. (5 кг. картофеля), а дробные, нецелые числа (5,4 кг лука). Большинство из них представлены в виде десятичных дробей. Но десятичную дробь представить в виде дроби достаточно просто.

Инструкция

Например, дано число "0,12". Если не эту дробь и представить ее так, как есть, то выглядеть она будет так: 12/100 ("двенадцать "). Чтобы избавиться от сотни в , нужно и числитель, и знаменатель поделить на число, которое делит их числа. Это число 4. Тогда, поделив числитель и знаменатель, получается число: 3/25.

Если рассматривать более бытовую , то часто на ценнике у видно, что вес его составляет, к примеру, 0,478 кг или пр. Такое число тоже легко представить в виде дроби :
478/1000 = 239/500. Дробь эта достаточно некрасивая, и если бы была возможность, то эту десятичную дробь можно было бы сокращать и далее. И все тем же методом: подбора числа, которое делит как числитель, так и знаменатель. Это число наибольшим общим множителем. "Наибольшим" множитель потому, что гораздо удобнее и числитель, и знаменатель сразу поделить на 4 (как в первом примере), чем делить дважды на 2.

Решение уравнений с дробями рассмотрим на примерах. Примеры простые и показательные. С их помощью вы наиболее понятным образом сможете усвоить, .
Например, требуется решить простое уравнение x/b + c = d.

Уравнения такого типа называется линейным, т.к. в знаменателе находятся только числа.

Решение выполняется путем умножения обоих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b*(d – c), т.е. знаменатель дроби в левой части сокращается.

Например, как решить дробное уравнение:
x/5+4=9
Умножаем обе части на 5. Получаем:
х+20=45
x=45-20=25

Другой пример, когда неизвестное находится в знаменателе:

Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробными.

Решать дробное уравнение бы будем путем избавления от дробей, после чего это уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное, которое решается обычным способом. Следует только учесть следующие моменты:

• значение переменной, обращающее в 0 знаменатель, корнем быть не может;
• нельзя делить или умножать уравнение на выражение =0.

Здесь вступает в силу такое понятие, как область допустимых значений (ОДЗ) – это такие значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.

Таким образом решая уравнение, необходимо найти корни, после чего проверить их на соответствие ОДЗ. Те корни, которые не соответствуют нашей ОДЗ, из ответа исключаются.

Например, требуется решить дробное уравнение:

Исходя из вышеуказанного правила х не может быть = 0, т.е. ОДЗ в данном случае: х – любое значение, отличное от нуля.

Избавляемся от знаменателя путем умножения всех членов уравнения на х

И решаем обычное уравнение

5x – 2х = 1
3x = 1
х = 1/3

Ответ: х = 1/3

Решим уравнение посложнее:

Здесь также присутствует ОДЗ: х -2.

Решая это уравнение, мы не станем переносить все в одну сторону и приводить дроби к общему знаменателю. Мы сразу умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит сразу все знаменатели.

Для сокращения знаменателей требуется левую часть умножить на х+2, а правую - на 2. Значит, обе части уравнения надо умножать на 2(х+2):

Это самое обычное умножение дробей, которое мы уже рассмотрели выше

Запишем это же уравнение, но несколько по-другому

Левая часть сокращается на (х+2), а правая на 2. После сокращения получаем обычное линейное уравнение:

х = 4 – 2 = 2, что соответствует нашей ОДЗ

Ответ: х = 2.

Решение уравнений с дробями не так сложно, как может показаться. В этой статье мы на примерах это показали. Если у вас возникли какие то трудности с тем, как решать уравнения с дробями , то отписывайтесь в комментариях.

Существует несколько типов иррациональности дроби в знаменателе. Она связана с присутствием в нем алгебраического корня одной либо разных степеней. Дабы избавиться от иррациональности , необходимо исполнить определенные математические действия в зависимости от обстановки.

Инструкция

1. Раньше чем избавиться от иррациональности дроби в знаменателе, следует определить ее тип, и в зависимости от этого продолжать решение. И правда любая иррациональность следует из простого присутствия корней, разные их комбинации и степени полагают различные алгорифмы.

2. Квадратный корень в знаменателе, выражение вида a/?bВведите добавочный множитель, равный?b. Дабы дробь не изменилась, умножать необходимо и числитель, и знаменатель:a/?b ? (a ?b)/b.Пример 1: 10/?3 ? (10 ?3)/3.

3. Присутствие под чертой дроби корня дробной степени вида m/n, причем n>mЭто выражение выглядит дальнейшим образом:a/?(b^m/n).

4. Избавьтесь от сходственной иррациональности также путем ввода множителя, на данный раз больше трудного: b^(n-m)/n, т.е. из показателя степени самого корня необходимо вычесть степень выражения под его знаком. Тогда в знаменателе останется только первая степень:a/(b^m/n) ? a ?(b^(n-m)/n)/b.Пример 2: 5/(4^3/5) ? 5 ?(4^2/5)/4 = 5 ?(16^1/5)/4.

5. Сумма квадратных корнейУмножьте обе составляющих дроби на аналогичную разность. Тогда из иррационального сложения корней знаменатель преобразуется в разность выражений/чисел под знаком корня:a/(?b + ?c) ? a (?b — ?c)/(b — c).Пример 3: 9/(?13 + ?23) ? 9 (?13 — ?23)/(13 — 23) = 9 (?23 — ?13)/10.

6. Сумма/разность кубических корнейВыберите в качестве добавочного множителя неполный квадрат разности, если в знаменателе стоит сумма, и соответственно неполный квадрат суммы для разности корней:a/(?b ± ?c) ? a (?b? ? ?(b c) + ?c?)/ ((?b ± ?c) ?b? ? ?(b c) + ?c?) ?a (?b? ? ?(b c) + ?c?)/(b ± c).Пример 4: 7/(?5 + ?4) ? 7 (?25- ?20 + ?16)/9.

7. Если в задаче присутствует и квадратный и кубический корень, тогда поделите решение на два этапа: ступенчато выведите из знаменателя квадратный корень, а после этого кубический. Делается это по теснее знаменитым вам способам: в первом действии необходимо предпочесть множитель разности/суммы корней, во втором – неполный квадрат суммы/разности.

Совет 2: Как избавиться от иррациональности в знаменателе

Правильная запись дробного числа не содержит иррациональности в знаменателе . Такая запись и легче понимается на вид, следственно при возникновении иррациональности в знаменателе умно от нее избавиться. В этом случае иррациональность может перейти в числитель.

Инструкция

1. Для начала дозволено разглядеть примитивный пример — 1/sqrt(2). Квадратный корень из 2-х — иррациональное число в знаменателе .В этом случае нужно домножить числитель и знаменатель дроби на ее знаменатель. Это обеспечит разумное число в знаменателе . Подлинно, sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2. Умножение 2-х идентичных квадратных корней друг на друга даст в результате то, что находится под всем из корней: в данном случае — двойку.В результате: 1/sqrt(2) = (1*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)/2. Данный алгорифм подходит также к дробям, в знаменателе которых корень умножается на разумное число. Числитель и знаменатель в этом случае надобно умножить на корень, находящийся в знаменателе .Пример: 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = sqrt(3)/(2*3) = sqrt(3)/6.

2. Безусловно подобно надобно делать, если в знаменателе находится не квадратный корень, а, скажем кубический либо всякий иной степени. Корень в знаменателе необходимо умножать на верно такой же корень, на данный же корень умножать и числитель. Тогда корень перейдет в числитель.

3. В больше трудном случае в знаменателе присутствует сумма либо разность иррационального и разумного числа либо 2-х иррациональных чисел.В случае суммы (разности) 2-х квадратных корней либо квадратного корня и разумного числа дозволено воспользоваться классно знаменитой формулой (x+y)(x-y) = (x^2)-(y^2). Она поможет избавиться от иррациональности в знаменателе . Если в знаменателе разность, то домножать числитель и знаменатель надобно на сумму таких же чисел, если сумма — то на разность. Эта домножаемая сумма либо разность будет именоваться сопряженной к выражению, стоящему в знаменателе .Результат этой схеме отменно виден на примере: 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = (sqrt(2)-1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (sqrt(2)-1)/(2-1) = sqrt(2)-1.

4. Если в знаменателе присутствует сумма (разность), в которой присутствует корень большей степени, то обстановка становится нетривиальной и освобождение от иррациональности в знаменателе не неизменно допустимо

Совет 3: Как освободиться от иррациональности в знаменателе дроби

Дробь состоит из числителя, расположенного сверху линии, и знаменателя, на тот, что он делится, расположенного внизу. Иррациональным именуется число, которое не может быть представлено в виде дроби с целым числом в числителе и естественным в знаменателе . Такими числами являются, скажем, квадратный корень из 2-х либо пи. Традиционно, когда говорят об иррациональности в знаменателе , подразумевается корень.

Инструкция

1. Избавьтесь от иррациональности умножением на знаменатель. Таким образом иррациональность будет перенесена в числитель. При умножении числителя и знаменателя на одно и то же число, значение дроби не меняется. Воспользуйтесь этим вариантом, если каждый знаменатель представляет собой корень.

2. Умножьте числитель и знаменатель на знаменатель надобное число раз, в зависимости от корня. Если корень квадратный, то один раз.

3. Разглядите пример с квадратным корнем. Возьмите дробь (56-y)/√(x+2). В ней есть числитель (56-y) и иррациональный знаменатель √(x+2), представляющий собой квадратный корень.

4. Умножьте числитель и знаменатель дроби на знаменатель, то есть на √(x+2). Первоначальный пример (56-y)/√(x+2) превратится в ((56-y)*√(x+2))/(√(x+2)*√(x+2)). В результате получится ((56-y)*√(x+2))/(x+2). Сейчас корень находится в числителе, а в знаменателе нет иррациональности.

5. Не неизменно знаменатель дроби каждый находится под корнем. Избавьтесь от иррациональности, воспользовавшись формулой (x+y)*(x-y)=x²-y².

6. Разглядите пример с дробью (56-y)/(√(x+2)-√y). Ее иррациональный знаменатель содержит разницу 2-х квадратных корней. Дополните знаменатель до формулы (x+y)*(x-y).

7. Умножьте знаменатель на сумму корней. Умножьте на то же самое числитель, дабы значение дроби не изменилось. Дробь примет вид ((56-y)*(√(x+2)+√y))/((√(x+2)-√y)*(√(x+2)+√y)).

8. Воспользуйтесь вышеупомянутым свойством (x+y)*(x-y)=x²-y² и освободите знаменатель от иррациональности. В итоге получится ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(x+2-y). Сейчас корень находится в числителе, а знаменатель избавился от иррациональности.

9. В трудных случаях повторяйте оба этих варианта, применяя по необходимости. Учтите, что не неизменно допустимо избавиться от иррациональности в знаменателе .

Алгебраическая дробь - это выражение вида А/В, где буквы А и В обозначают всякие числовые либо буквенные выражения. Нередко числитель и знаменатель в алгебраических дробях имеют массивный вид, но действия с такими дробями следует делать по тем же правилам, что и действия с обычными, где числитель и знаменатель - целые позитивные числа.

Инструкция

1. Если даны смешанные дроби , переведите их в неправильные (дробь, в которой числитель огромнее знаменателя): умножьте знаменатель на целую часть и прибавьте числитель. Так число 2 1/3 превратится в 7/3. Для этого 3 умножают на 2 и прибавляют единицу.

2. Если нужно перевести десятичную дробь в неправильную, то представьте ее как деление числа без запятой на единицу со столькими нулями, сколько чисел стоит позже запятой. Скажем, число 2,5 представьте как 25/10 (если сократить, то получится 5/2), а число 3,61 — как 361/100. Оперировать с неправильными дробями нередко легче, чем со смешанными либо десятичными.

3. Если дроби имеют идентичные знаменатели, а вам нужно их сложить, то примитивно сложите числители; знаменатели остаются без изменений.

4. При необходимости произвести вычитание дробей с идентичными знаменателями из числителя первой дроби вычтите числитель 2-й дроби. Знаменатели при этом также не меняются.

5. Если нужно сложить дроби либо вычесть одну дробь из иной, а они имеют различные знаменатели, приведите дроби к всеобщему знаменателю. Для этого обнаружьте число, которое будет наименьшим всеобщим кратным (НОК) обоим знаменателям либо нескольким, если дробей огромнее 2-х. НОК - это число, которое разделится на знаменатели всех данных дробей. К примеру, для 2 и 5 это число 10.

6. Позже знака «равно» проведите горизонтальную черту и запишите в знаменатель это число (НОК). Проставьте к всему слагаемому добавочные множители - то число, на которое нужно домножить и числитель, и знаменатель, дабы получить НОК. Ступенчато умножайте числители на добавочные множители, сберегая знак сложения либо вычитания.

7. Посчитайте итог, сократите его при необходимости либо выделите целую часть. Для примера — нужно сложить? и?. НОК для обеих дробей - 12. Тогда добавочный множитель к первой дроби - 4, ко 2-й - 3. Итого: ?+?=(1·4+1·3)/12=7/12.

8. Если дан пример на умножение, перемножьте между собой числители (это будет числитель итога) и знаменатели (получится знаменатель итога). В этом случае к всеобщему знаменателю их приводить не нужно.

9. Дабы поделить дробь на дробь, нужно опрокинуть вторую дробь «вверх ногами» и перемножить дроби. То есть а/b: с/d = a/b · d/c.

10. Раскладывайте числитель и знаменатель на множители, если это требуется. Скажем, переносите всеобщий множитель за скобку либо раскладывайте по формулам сокращённого умножения, дабы после этого дозволено было при необходимости сократить числитель и знаменатель на НОД — минимальный всеобщий делитель.

Обратите внимание!
Числа складывайте с числами, буквы одного рода с буквами того же рода. Скажем, невозможно сложить 3a и 4b, значит в числителе так и останется их сумма либо разность - 3a±4b.

В быту почаще каждого встречаются не настоящие числа: 1, 2, 3, 4 и т.д. (5 кг. картофеля), а дробные, нецелые числа (5,4 кг лука). Множество из них представлены в виде десятичных дробей. Но десятичную дробь представить в виде дроби довольно легко.

Инструкция

1. Скажем, дано число «0,12». Если не уменьшать эту десятичную дробь и представить ее так, как есть, то выглядеть она будет так: 12/100 («двенадцать сотых»). Дабы избавиться от сотни в знаменателе, надобно и числитель, и знаменатель поделить на такое число, которое делит их на целые числа. Это число 4. Тогда, поделив числитель и знаменатель, получается число: 3/25.

2. Если рассматривать больше бытовую обстановку, то зачастую на ценнике у продуктов видно, что вес его составляет, к примеру, 0,478 кг либо пр. Такое число тоже легко представить в виде дроби :478/1000 = 239/500. Дробь эта довольно уродливая, и если бы была вероятность, то эту десятичную дробь дозволено было бы уменьшать и дальше. И все тем же способом: подбора числа, которое делит как числитель, так и знаменатель. Это число именуется наибольшим всеобщим множителем. «Наибольшим» множитель назван потому, что значительно комфортнее и числитель, и знаменатель сразу поделить на 4 (как в первом примере), чем разделять двукратно на 2.

Видео по теме

Десятичная дробь — разновидность дроби , у которой в знаменателе есть «круглое» число: 10, 100, 1000 и т.д., Скажем, дробь 5/10 имеет десятичную запись 0,5. Исходя из этого тезиса, дробь дозволено представить в виде десятичной дроби .

Инструкция

1. Возможен, нужно представить в виде десятичной дробь 18/25.Вначале надобно сделать так, дабы в знаменателе возникло одно из «круглых» чисел: 100, 1000 и т.д. Для этого надобно знаменатель умножить на 4. Но на 4 понадобится умножить и числитель, и знаменатель.

2. Умножив числитель и знаменатель дроби 18/25 на 4, получается 72/100. Записывается эта дробь в десятичном виде так: 0,72.

При делении 2-х десятичных дробей, когда под рукой не оказывается калькулятора, многие испытывают некоторые затруднения. На самом деле здесь нет ничего трудного. Десятичные дроби именуются таковыми, если в их знаменателе число, кратное 10. Как водится, такие числа записываются в одну строчку и имеют запятую, отделяющую дробную часть от целой. Видимо по причине наличия дробной части, которая к тому же отличается числом знаков позже запятой, многим не ясно, как изготавливать без калькулятора математические действия с такими числами.

Вам понадобится

• лист бумаги, карандаш

Инструкция

1. Выходит, для того, дабы поделить одну десятичную дробь на иную, надобно посмотреть на оба числа и определить, у какого из них огромнее знаков позже запятой. Умножаем оба числа на число, кратное 10, т.е. 10, 1000 либо 100000, число нулей в котором равно большему числу знаков позже запятой одного из 2-х наших начальных чисел. Сейчас обе десятичные дроби превратились в обычные целые числа. Берем лист бумаги с карандашом и разделяем два получившихся числа «уголком». Получаем итог.

2. Скажем, нам надобно поделить число 7,456 на 0,43. Первое число имеет огромнее знаков позже запятой (3 знака), следственно умножаем оба числа не 1000 и получаем два примитивных целых числа: 7456 и 430. Сейчас разделяем «уголком» 7456 на 430 и получаем, что, если 7,456 поделить 0,43 выйдет приблизительно 17,3.

3. Существует еще один метод деления. Записываем десятичные дроби в виде примитивных дробей с числителем и знаменателем, для нашего случая это 7456/1000 и 43/100. Позже этого записываем выражение для деления 2-х примитивных дробей:7456*100/1000*43,после этого уменьшаем десятки, получаем:7456/10*43 = 7456/430В финальном выводе вновь получаем деление 2-х примитивных чисел 7456 и 430, которое дозволено произвести «уголком».

Видео по теме

Полезный совет
Таким образом, способ деления десятичных дробей заключается к приведению их к целым числам с поддержкой умножения всякого из них на одно и то же число. Выполнение операций с целыми числами, как водится, не вызывает ни у кого сложностей.

Видео по теме

Токарев Кирилл

Работа помогает научиться извлекать квадратный корень из любого числа без применения калькулятора и таблицы квадратов и освобождать знаменатель дроби от иррациональности.

Освобождение от иррациональности знаменателя дроби

Суть метода состоит в умножении и делении дроби на такое выражение, которое позволит исключить иррациональность (квадратные и кубические корни) из знаменателя и сделает его проще. После этого дроби проще привести к общему знаменателю и окончательно упростить исходное выражение.

Извлечение квадратного корня с приближением до заданного разряда.

Пусть нужно извлечь квадратный корень из натурального числа 17358122, причем известно, что корень извлекается. Чтобы найти результат, иногда удобно воспользоваться описанным в работе правилом.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Радикал. Освобождение от иррациональности знаменателя дроби. Извлечение квадратного корня с заданной степенью точности. Ученика 9Б класса МОУ СОШ №7 г. Сальска Токарева Кирилла

ОСНОВОПОЛАГАЮЩИЙ ВОПРОС: Можно ли извлечь квадратный корень из любого числа с заданной степенью точности, не имея калькулятора и таблицы квадратов?

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ: Рассмотреть случаи решения выражений с радикалами, не изучаемые в школьном курсе математики, но необходимые на ЕГЭ.

ИСТОРИЯ КОРНЯ Знак корня происходит из строчной латинской буквы r (начальной в латинском слове radix – корень), сросшейся с надстрочной чертой. В старину надчёркивание выражения использовалось вместо нынешнего заключения в скобки, так что есть всего лишь видоизменённый древний способ записи чего-то вроде. Впервые такое обозначение использовал немецкий математик Томас Рудольф в 1525 году.

ОСВОБОЖДЕНИЕ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ ЗНАМЕНАТЕЛЯ ДРОБИ Суть метода состоит в умножении и делении дроби на такое выражение, которое позволит исключить иррациональность (квадратные и кубические корни) из знаменателя и сделает его проще. После этого дроби проще привести к общему знаменателю и окончательно упростить исходное выражение. АЛГОРИТМ ОСВОБОЖДЕНИЯ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ В ЗНАМЕНАТЕЛЕ ДРОБИ: 1. Разложить знаменатель дроби на множители. 2. Если знаменатель имеет вид или содержит множитель, то числитель и знаменатель следует умножить на. Если знаменатель имеет вид или или содержит множитель такого вида, то числитель и знаменатель дроби следует умножить соответственно на или на. Числа и называют сопряжёнными. 3. Преобразовать числитель и знаменатель дроби, если возможно, то сократить полученную дробь.

а) б) в) г) = - Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.

ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ С ПРИБЛИЖЕНИЕМ ДО ЗАДАННОГО РАЗРЯДА. 1) -1 100 96 400 281 11900 11296 24 4 281 1 2824 4 16 135 81 5481 4956 52522 49956 81 1 826 6 8326 6 2) Древневавилонский способ: Пример: Найти. Для решения задачи данное число разлагается на сумму двух слагаемых: 1700 = 1600 + 100 = 40 2 + 100, первое из которых является полным квадратом. Затем применяем формулу. Алгебраический способ:

ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ С ПРИБЛИЖЕНИЕМ ДО ЗАДАННОГО РАЗРЯДА. , 4 16 8 . 1 1 1 3 5 1 8 1 5 4 8 1 8 2 + 66 4 9 5 6 6 5 2 5 2 2 + 8 3 2 66 4 9 9 5 6 6 + 8 3 3 2 33 2 5 6 6 0 0 ,3

Список литературы 1. Сборник задач по математике для поступающих в вузы под редакцией М.И.Сканави. В. К.Егерев, Б.А.Кордемский, В. В. Зайцев, “ ОНИКС 21 век ” , 2003г. 2. Алгебра и элементарные функции. Р. А. Калнин, “ Наука ” , 1973г. 3. Математика. Справочные материалы. В. А. Гусев, А. Г. Мордкович, издательство “ Просвещение ” , 1990г. 4. Школьникам о математике и математиках. Составитель М.М.Лиман, Просвещение, 1981г.

По вашим просьбам!

5. Решите неравенство:

6 . Упростите выражение:

17. f(x)=6x 2 +8x+5, F(-1)=3. Найдите F(-2).

Найдем С, зная, что F(-1) = 3.

3 = 2 ∙ (-1) 3 + 4 ∙ (-1) 2 + 5 ∙ (-1) + C;

3 = -2 + 4 – 5 + C;

Таким образом первообразная F(x) = 2x 3 + 4x 2 + 5x + 6. Найдем F(-2).

F(-2) = 2∙(-2) 3 +4∙(-2) 2 +5∙(-2)+6 = -16+16-10+6=-4.

20. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе

Решение основано на основном свойстве дроби, позволяющим умножать числитель и знаменатель дроби на одно и то же, не равное нулю число. Чтобы избавиться от знаков радикала в знаменателе дроби, обычно используют ФСУ (формулы сокращенного умножения). Ведь если разность двух радикалов умножить на их сумму, то получится разность квадратов корней, т.е. получится выражение без знаков радикалов.

21. Упростить выражение:

Решим этот пример двумя способами. 1) Представим подкоренное выражение второго множителя в виде квадрата суммы двух выражений, т.е. в виде(a + b) 2 . Это позволит нам извлечь арифметический квадратный корень.

2) Возведем первый множитель в квадрат и внесем его под знак арифметического квадратного корня второго множителя.

Решайте удобным для себя способом!

22. Найдите (х 1 ∙у 1 +х 2 ∙у 2), где (х n ; y n) – решения системы уравнений:

Так как арифметический квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа, то допустимыми значениями переменной у служат все числа, удовлетворяющие неравенству y≥0 . Так как произведение в первом уравнении системы равно отрицательному числу, то должно выполняться условие: x<0 . Выразим х из первого уравнения и подставим его значение во второе уравнение. Решим получившееся уравнение относительно у , а затем найдем значения х , соответствующие полученным ранее значениям у .

23. Решить неравенство: 7sin 2 x+cos 2 x>5sinx.

Так как по основному тригонометрическому тождеству: sin 2 x+cos 2 x=1, то представив данное неравенство в виде 6sin 2 x+ sin 2 x +cos 2 x>5sinx и применив основное тригонометрическое тождество, получаем: 6sin 2 x+ 1>5sinx. Решаем неравенство:

6sin 2 x-5sinx+1 >0. Сделаем замену: sinx=y и получим квадратичное неравенство:

6y 2 -5y+1>0. Решим это неравенство методом интервалов, разложив левую часть на множители. Для этого найдем корни полного квадратного уравнения:

6y 2 -5y+1=0. Дискриминант D=b 2 -4ac=5 2 -4∙6∙1=25-24=1. Тогда получаем у 1 и у 2:

24. В основании прямой призмы лежит правильный треугольник, площадь которого равна Вычислите площадь боковой поверхности призмы, если ее объем равен 300 см 3 .

Пусть нам дана правильная треугольная призма АВСА 1 В 1 С 1 , в основании которой лежит правильный Δ АВС, его площадь нам известна. Применив формулу площади равностороннего треугольника, мы найдем сторону нашего треугольника АВС. Так как объем прямой призмы, вычисляется по формуле V=S осн. ∙ H, и нам также известен, то можно найти Н — высоту призмы. Боковое ребро призмы будет равно высоте призмы: AA 1 =H. Зная сторону основания и длину бокового ребра призмы можно найти площадь ее боковой поверхности по формуле: S бок. =P осн. ∙ H.

25. На школьной викторине было предложено 20 вопросов. За каждый правильный ответ участнику начисляли 12 очков, а за каждый неправильный списывали 10 очков. Сколько правильных ответов дал один из участников, если он отвечал на все вопросы и набрал 86 очков?

Пусть участник дал х правильных ответов. Тогда неправильных у него (20-х) ответов. Зная, что за каждый правильный ответ ему начисляли 12 очков, а за каждый неправильный списывали 10 очков и при этом он набрал 86 очков, составим уравнение:

12х-10·(20-х)=86;

12х-200+10х=86;

22х=286 ⇒ х=286:22 ⇒ х=13. Участник дал 13 правильных ответов.

Я желаю вам дать 25 правильных ответов на тест по математике на ЕНТ!

24. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 3, боковое ребро 6. Найти радиус шара, описанного около пирамиды.

Пусть шар с центром в точке О 1 и радиусом МО 1 описан около правильной пирамиды MABCD с высотой МО=3 и боковым ребром МА=6. Требуется найти радиус шара МО 1 . Рассмотрим ΔМАМ 1 , в котором сторона ММ 1 — диаметр шара. Тогда ∠МАМ 1 =90°. Найдем гипотенузу ММ 1 , если известны катет МА и проекция этого катета МО на гипотенузу. Помните? Высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе есть средняя пропорциональная величина между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть средняя пропорциональная величина между всей гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. Нам в этой задаче пригодится только подчеркнутая часть правила.

Записываем равенство: МА 2 =МО∙ММ 1 . Подставляем свои данные: 6 2 =3∙ ММ 1 . Отсюда ММ 1 =36:3=12. Мы нашли диаметр шара, следовательно, радиус МО 1 =6.

25. Петя старше Коли, который старше Миши, Маша старше Коли, а Даша младше Пети, но старше Маши. Кто третий по возрасту?

Будем считать: старше — это больше. Петя старше Коли, который старше Миши запишем так: Петя>Коля>Миша. Даша младше Пети, но старше Маши запишем так: Маша<Даша<Петя, что будет равнозначно записи: Петя>Даша>Маша. Так как Маша старше Коли, то получаем: Петя>Даша>Маша>Коля. И окончательно: Петя>Даша>Маша>Коля>Миша. Таким образом, третий по возрасту — Маша.

Желаю успешной подготовки к ЕНТ!